Suponha que f seja uma função diferenciável de x e y, e g(u, v)=f(e^u+sen v, e^u+cos v).
f g fx fy
(0,0) 3 6 4 8
(1,2) 6 3 2 5
Use a tabela de valores para calcular gu(0,0) e gv(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função $ f $ que depende de duas variáveis, $ x $ e $ y $, e uma outra função $ g(u, v) $ que é construída a partir de $ f $. Nosso objetivo aqui é calcular as derivadas parciais de $ g $ em relação a $ u $ e $ v $ no ponto $ (0, 0) $. Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas parciais, que nos ajuda a lidar com funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como $ g(u, v) $ está definida. Ela é composta por $ f $ aplicada a duas expressões:
g(u, v)
Aqui, podemos identificar que $ x = e^{u} + \sin v $ e $ y = e^{u} + \cos v $. Para encontrar as derivadas parciais de $ g $ em relação a $ u $ e $ v $, vamos usar a regra da cadeia:
f
g(u, v) = f(e^u + sin v, e^u + cos v)

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de $ x $ e $ y $ em relação a $ u $ e $ v $:
x
y
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:
u
v

Passo 4

Vamos avaliar essas expressões no ponto $ (u, v) = (0, 0) $.
Primeiro, calculamos $ x $ e $ y $ nesse ponto:
(u, v) = (0, 0)
x
Agora, consultamos a tabela fornecida para encontrar $ f_x $ e $ f_y $ em $ (1, 2) $:
y
Substituímos esses valores nas expressões de $ g_u $ e $ g_v $:
x = e^0 + sin 0 = 1 + 0 = 1
y = e^0 + cos 0 = 1 + 1 = 2

Resposta

$ g_{u}(0,0) = 7 $ e $ g_{v}(0,0) = 2 $.

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