Suponha que
seja uma função diferenciável de
e
, e
.
|
|
|
|
|
---|---|---|---|---|
|
3 | 6 | 4 | 8 |
|
6 | 3 | 2 | 5 |
Use a tabela de valores para calcular
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função $ f $ que depende de duas variáveis, $ x $ e $ y $, e uma outra função $ g(u, v) $ que é construída a partir de $ f $. Nosso objetivo aqui é calcular as derivadas parciais de $ g $ em relação a $ u $ e $ v $ no ponto $ (0, 0) $. Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas parciais, que nos ajuda a lidar com funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como $ g(u, v) $ está definida. Ela é composta por $ f $ aplicada a duas expressões:
Aqui, podemos identificar que $ x = e^{u} + \sin v $ e $ y = e^{u} + \cos v $. Para encontrar as derivadas parciais de $ g $ em relação a $ u $ e $ v $, vamos usar a regra da cadeia:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de $ x $ e $ y $ em relação a $ u $ e $ v $:
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:
Passo 4
Vamos avaliar essas expressões no ponto $ (u, v) = (0, 0) $.
Primeiro, calculamos $ x $ e $ y $ nesse ponto:
Agora, consultamos a tabela fornecida para encontrar $ f_x $ e $ f_y $ em $ (1, 2) $:
Substituímos esses valores nas expressões de $ g_u $ e $ g_v $:
Resposta
$ g_{u}(0,0) = 7 $ e $ g_{v}(0,0) = 2 $.