Calcule a integral de superfície integralegral duplaS x d S onde S é a parte da esfera x^2+y^2+z^2=a^2 no primeiro octante.
Escolha uma opção:
a. 7 raiz213
b. pi a^34
c. 14 pi3
d. Nenhuma das Respostas
e. 8 pi(raiz2+2)

Passo 1

Beleza! A gente vai calcular a integral de superfície integral duplaS x , dS, onde S é a parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = a^2 que está no primeiro octante. Isso aqui tá ligado ao cálculo de integrais sobre superfícies e geometria espacial. Vamos precisar das coordenadas esféricas para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o primeiro octante. No espaço 3D, o primeiro octante é onde todas as coordenadas x, y e z são positivas. Então, estamos trabalhando apenas com x >= 0, y >= 0 e z >= 0 na esfera.

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas esféricas. Nessa mudança:
  • x = rho sinphi costheta
  • y = rho sinphi sintheta
  • z = rho cosphi
Como estamos na superfície da esfera x^2 + y^2 + z^2 = a^2, o raio rho = a.

Passo 4

A integral de superfície em coordenadas esféricas fica:
integral duplaS x , dS = integral0^pi2 integral0^pi2 (a sinphi costheta) cdot a^2 sinphi , dtheta , dphi
Aqui, dS = rho^2 sinphi , dtheta , dphi = a^2 sinphi , dtheta , dphi.

Passo 5

Vamos simplificar a integral:
a^3 integral0^pi2 integral0^pi2 sin^2phi costheta , dtheta , dphi
Primeiro, integraremos em relação a theta.

Passo 6

Integral em theta:
integral0^pi2 costheta , dtheta = sintheta |0^pi2 = 1 - 0 = 1

Passo 7

Agora, a integral fica:
a^3 integral0^pi2 sin^2phi , dphi
Precisamos resolver essa integral em phi.

Passo 8

Sabemos que:
integral sin^2phi , dphi = phi2 - sin2phi4 + C
Então, aplicando os limites:
[ phi2 - sin2phi4 ]0^pi2 = ( pi4 - sinpi4 ) - ( 0 - sin04 ) = pi4

Passo 9

Substituindo de volta:
a^3 cdot pi4 = pi a^34

Resposta

A resposta correta é a letra b. pi a^34.

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