Considere R a região formada pelas curvas y=x^5+4, y=x^5+9, x=1 e x=2. Sobre tal região responda o que se pede:
(b) (1,0 ponto) Calcule o volume do sólido S formado pela rotação de R em torno do da reta y=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma região R delimitada pelas curvas y = x^5 + 4, y = x^5 + 9, e pelas retas verticais x = 1 e x = 2. O que precisamos fazer é calcular o volume do sólido S que resulta ao girar essa região R em torno da reta horizontal y = 1. Para resolver isso, vamos usar o método dos anéis (também conhecido como método dos discos ou washer method), que é uma técnica de cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar. Quando giramos a região R em torno da reta y = 1, cada fatia vertical entre x = 1 e x = 2 gera um anel. Para calcular o volume, precisamos determinar duas coisas:
  1. O raio externo ( R(x)): a distância da curva de cima ao eixo de rotação.
  2. O raio interno ( r(x)): a distância da curva de baixo ao eixo de rotação.

Passo 3

Identificando as curvas:
  • A curva de cima é y = x^5 + 9.
  • A curva de baixo é y = x^5 + 4.
Como estamos girando em torno de y = 1, calculamos os raios:
  • R(x) = (x^5 + 9) - 1 = x^5 + 8
  • r(x) = (x^5 + 4) - 1 = x^5 + 3

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula do volume usando o método dos anéis:
V = pi integrala^b [ (R(x))^2 - (r(x))^2 ] dx
Onde:
  • a = 1 e b = 2 são os limites de integração.
  • R(x) = x^5 + 8
  • r(x) = x^5 + 3

Passo 5

Substituindo na fórmula:
V = pi integral1^2 [ (x^5 + 8)^2 - (x^5 + 3)^2 ] dx
Vamos expandir os quadrados:
(x^5 + 8)^2 = x^10 + 16x^5 + 64
(x^5 + 3)^2 = x^10 + 6x^5 + 9
Então:
(x^5 + 8)^2 - (x^5 + 3)^2 = (x^10 + 16x^5 + 64) - (x^10 + 6x^5 + 9) = 10x^5 + 55

Passo 6

Agora, o integral fica mais simples:
V = pi integral1^2 (10x^5 + 55) dx
Vamos integrar termo a termo:
integral (10x^5 + 55) dx = 106x^6 + 55x = 53x^6 + 55x

Passo 7

Aplicando os limites de integração de 1 a 2:
V = pi [ (53 times 2^6 + 55 times 2) - (53 times 1^6 + 55 times 1) ]
Calculando cada parte:
2^6 = 64 e 1^6 = 1
53 times 64 = 3203 ; 55 times 2 = 110
53 times 1 = 53 ; 55 times 1 = 55
Então:
V = pi [ (3203 + 110) - (53 + 55) ] = pi [ 320 + 3303 - 5 + 1653 ] = pi [ 6503 - 1703 ] = pi times 4803 = pi times 160

Resposta

V = 160,pi

Exercícios relacionados