Considere
a região formada pelas curvas
e
. Sobre tal região responda o que se pede:
(b) (1,0 ponto) Calcule o volume do sólido
formado pela rotação de
em torno do da reta
.
(b) (1,0 ponto) Calcule o volume do sólido
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma região
delimitada pelas curvas
,
, e pelas retas verticais
e
. O que precisamos fazer é calcular o volume do sólido
que resulta ao girar essa região
em torno da reta horizontal
. Para resolver isso, vamos usar o método dos anéis (também conhecido como método dos discos ou washer method), que é uma técnica de cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar. Quando giramos a região
em torno da reta
, cada fatia vertical entre
e
gera um anel. Para calcular o volume, precisamos determinar duas coisas:
- O raio externo (
): a distância da curva de cima ao eixo de rotação. - O raio interno (
): a distância da curva de baixo ao eixo de rotação.
Passo 3
Identificando as curvas:
- A curva de cima é
. - A curva de baixo é
.
Como estamos girando em torno de
, calculamos os raios:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula do volume usando o método dos anéis:
Onde:
-
e são os limites de integração. -
-
Passo 5
Substituindo na fórmula:
Vamos expandir os quadrados:
Então:
Passo 6
Agora, o integral fica mais simples:
Vamos integrar termo a termo:
Passo 7
Aplicando os limites de integração de 1 a 2:
Calculando cada parte:
Então: