Use o Teorema Fundamental do Cálculo parte 1 para calcular a derivada das funções abaixo:
(a) (1,0 ponto) f(x)=integralx^3 sen(t^4-1) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A questão pede para calcular a derivada da função $ f(x) = \int_{x}^{3} \sin(t^{4} - 1) , dt $. Estamos lidando com o Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1, que conecta derivadas e integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a derivada de uma função definida por uma integral cujo limite depende de $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1. Ele nos diz que se temos uma função definida por uma integral, como $ F(x) = \int_{a}^{x} g(t) , dt $, então a derivada de $ F $ em relação a $ x $ é simplesmente $ g(x) $. Ou seja, $ F’(x) = g(x) $.

Passo 3

No nosso caso, a função é $ f(x) = \int_{x}^{3} \sin(t^{4} - 1) , dt $. Note que o limite inferior da integral é $ x $ e o limite superior é 3, que é constante. O teorema que aplicamos ainda funciona, mas precisamos lembrar que, quando o limite inferior é a variável, a derivada tem um sinal negativo.

Passo 4

Aplicando o teorema, a derivada de $ f(x) $ em relação a $ x $ será igual a menos a função dentro da integral avaliada em $ x $. Ou seja:
f(x)
Isso porque o limite superior é constante, então sua derivada é zero, e só precisamos considerar o limite inferior que depende de $ x $.

Resposta

A derivada de $ f(x) $ é $ f’(x) = -\sin(x^{4} - 1) $.

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