(2,0 pontos) Encontre a velocidade média de um objeto com velocidade instantânea
v(t)=sec t tg t+t^5
no intervalo [pi / 6, pi / 3].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a velocidade média de um objeto cujo a velocidade instantânea é dada por $ v(t) = \sec t , \tan t + t^{5} $ no intervalo de tempo v(t) = sec t , tan t + t^5 . O conteúdo aqui envolve cálculo, mais especificamente o conceito de média de uma função no intervalo. Para resolver, vamos precisar integrar a função de velocidade nesse intervalo e depois dividir pelo tamanho do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade média $ \overline{v} $ em um intervalo v é dada por:
[a, b]
No nosso caso, $ a = \pi/6 $ e $ b = \pi/3 $, então vamos aplicar essa fórmula.

Passo 3

Vamos montar a integral da função de velocidade:
v = 1pi/3 - pi/6 integralpi/6^pi/3 ( sec t , tan t + t^5 ) dt
Simplificando o denominador:
pi/3 - pi/6 = pi/6
Então:
v = 1pi/6 integralpi/6^pi/3 ( sec t , tan t + t^5 ) dt

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
  1. A integral de $ \sec t , \tan t $ é $ \sec t $, porque a derivada de $ \sec t $ é $ \sec t , \tan t $.
  2. A integral de $ t^{5} $ é $ \frac{t^{6}}{6} $.
Portanto:
sec t , tan t

Passo 5

Vamos avaliar a integral nos limites $ \pi/6 $ e $ \pi/3 $:
pi/6
Sabendo que $ \sec \frac{\pi}{3} = 2 $ e $ \sec \frac{\pi}{6} = \frac{2}{\sqrt{3}} $, substituímos:
pi/3

Passo 6

Agora, vamos calcular os valores numéricos:
= 2 + pi^6 3^6 times 6 - 2raiz3 - pi^6 6 times 6^6
Simplificando:
= 2 - 2raiz3 + pi^6 6 times 729 - pi^6 6 times 46656

Passo 7

Finalmente, multiplicamos pelo inverso do tamanho do intervalo $ \pi/6 $:
pi/6
Simplificando:
v = 1pi/6 ( 2 - 2raiz3 + pi^6 4374 - pi^6 279936 )

Resposta

A velocidade média do objeto no intervalo [ pi/6, pi/3 ] é:
v = 6pi ( 2 - 2raiz3 + pi^6 4374 - pi^6 279936 )

Exercícios relacionados