(2,0 pontos) Encontre a velocidade média de um objeto com velocidade instantânea
no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a velocidade média de um objeto cujo a velocidade instantânea é dada por $ v(t) = \sec t , \tan t + t^{5} $ no intervalo de tempo
. O conteúdo aqui envolve cálculo, mais especificamente o conceito de média de uma função no intervalo. Para resolver, vamos precisar integrar a função de velocidade nesse intervalo e depois dividir pelo tamanho do intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade média $ \overline{v} $ em um intervalo
é dada por:
No nosso caso, $ a = \pi/6 $ e $ b = \pi/3 $, então vamos aplicar essa fórmula.
Passo 3
Vamos montar a integral da função de velocidade:
Simplificando o denominador:
Então:
Passo 4
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
- A integral de $ \sec t , \tan t $ é $ \sec t $, porque a derivada de $ \sec t $ é $ \sec t , \tan t $.
- A integral de $ t^{5} $ é $ \frac{t^{6}}{6} $.
Portanto:
Passo 5
Vamos avaliar a integral nos limites $ \pi/6 $ e $ \pi/3 $:
Sabendo que $ \sec \frac{\pi}{3} = 2 $ e $ \sec \frac{\pi}{6} = \frac{2}{\sqrt{3}} $, substituímos:
Passo 6
Agora, vamos calcular os valores numéricos:
Simplificando:
Passo 7
Finalmente, multiplicamos pelo inverso do tamanho do intervalo $ \pi/6 $:
Simplificando:
Resposta
A velocidade média do objeto no intervalo
é: