• (1 ponto) Determine um intervalo de amplitude 1 , no qual será localizado pelo menos um zero da função f(x)=x^3+3 x-5.
  • (1,5 pontos) Dê um exemplo de função tal que em dois pontos distintos x=a e x=b a função tem sinais contrários, f não é contínua no intervalo [a, b] e a tese do Teorema do Valor Intermediário é verdadeira.

Passo 1

O problema tem duas partes: primeiro precisamos achar um intervalo de tamanho 1 que contenha pelo menos uma raiz da função f(x)=x^3+3x-5, usando o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para funções contínuas. Na segunda parte, precisamos dar um exemplo de função f que em dois pontos a e b tenha sinais opostos, não seja contínua em [a,b], mas ainda assim haja um cin(a,b) tal que f(c)=0.

Passo 2

Para a primeira parte, note que f(x)=x^3+3x-5 é contínua e estritamente crescente (pois f'(x)=3x^2+3>0 para todo x). Basta avaliar em dois pontos distantes 1 unidade. Calculamos:
f(1)=1^3+3cdot1-5=1+3-5=-1,
f(2)=2^3+3cdot2-5=8+6-5=9
Como f(1)<0 e f(2)>0, pelo TVI existe pelo menos uma raiz em (1,2). O intervalo de amplitude 1 que satisfaz é [1,2].

Passo 3

Para a segunda parte, criamos uma função simples que não é contínua em um ponto interior, mas em que ainda existe um zero entre dois pontos de sinais opostos. Por exemplo, definimos:
f(x)=-1, & x<0,x, & x>=0
Escolhemos a=-1 e b=1. Então f(a)=-1<0 e f(b)=1>0, e f não é contínua em x=0 (há salto). Apesar disso, existe c=0 em (a,b) tal que f(0)=0, satisfazendo a tese do TVI mesmo sem continuidade em todo [a,b].

Resposta

O intervalo de amplitude 1 com pelo menos um zero de f(x)=x^3+3x-5 é [1,2]. Um exemplo de função não contínua em [a,b] que satisfaz f(a)f(b)<0 e ainda assim tem um zero é
f(x)=-1, & x<0,x, & x>=0,
com a=-1, b=1 e c=0 tal que f(0)=0.

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