- (1 ponto) Determine um intervalo de amplitude 1 , no qual será localizado pelo menos um zero da função
.
- (1,5 pontos) Dê um exemplo de função tal que em dois pontos distintos
e
a função tem sinais contrários,
não é contínua no intervalo
e a tese do Teorema do Valor Intermediário é verdadeira.
Passo 1
O problema tem duas partes: primeiro precisamos achar um intervalo de tamanho 1 que contenha pelo menos uma raiz da função
, usando o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para funções contínuas. Na segunda parte, precisamos dar um exemplo de função
que em dois pontos
e
tenha sinais opostos, não seja contínua em
, mas ainda assim haja um
tal que
.
Passo 2
Para a primeira parte, note que
é contínua e estritamente crescente (pois
para todo
). Basta avaliar em dois pontos distantes 1 unidade. Calculamos:
Como
Passo 3
Para a segunda parte, criamos uma função simples que não é contínua em um ponto interior, mas em que ainda existe um zero entre dois pontos de sinais opostos. Por exemplo, definimos:
Escolhemos
Resposta
O intervalo de amplitude 1 com pelo menos um zero de
é [1,2]. Um exemplo de função não contínua em
que satisfaz
e ainda assim tem um zero é
com
,
e
tal que
.