Um escoamento com campo de velocidade vec{u}=u \hat{i}+v \hat{j}+w \hat{k} é dito não divergente quando \nabla \cdot \vec{u}=0, onde: \nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x} \hat{i}+\frac{\partial}{\partial y} \hat{j}+\frac{\partial}{\partial z} \hat{k}\right).
Considere o campo \vec{u} sendo dado pelas velocidades de Ekman. Calcule a divergência desse campo e comente sobre a implicação desse resultado para os movimentos verticais.

Passo 1

O enunciado lembra que um fluido incompressível (ou não divergente) satisfaz
\nabla\cdot\vec{u} =\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial v}{\partial y} +\frac{\partial w}{\partial z} =0.
Aqui queremos calcular essa divergência para o campo de velocidades de Ekman, cujas componentes horizontais variam apenas com a profundidade z e cuja componente vertical w é nula na solução clássica local.

Passo 2

Escrevendo a forma padrão da espiral de Ekman sobre correntes geostróficas de módulo U_g e profundidade de escala \delta_E, temos
u(z) =U_g\Bigl[1-e^{-z/\delta_E}\cos\bigl(z/\delta_E\bigr)\Bigr],
v(z) =U_g\,e^{-z/\delta_E}\sin\bigl(z/\delta_E\bigr),
w(z)=0.
Observe que u e v dependem apenas de z, sem nenhuma variação em x ou y.

Passo 3

Calculamos cada termo da divergência:
\partial u/\partial x=0 pois u não depende de x.
\partial v/\partial y=0 pois v não depende de y.
\partial w/\partial z=\partial(0)/\partial z=0.
Somando,
\nabla\cdot\vec{u} =0+0+0 =0.

Passo 4

Como \nabla\cdot\vec{u}=0, o campo de Ekman é estritamente não divergente. Isso implica que, localmente, não há criação de velocidade vertical dentro da camada de Ekman: qualquer w constante satisfaz a equação de continuidade, e como dele impomos w=0 na superfície, resulta w=0 no interior.

Passo 5

Para que surja movimento vertical (o chamado Ekman pumping ou suction), é preciso que haja variação horizontal do esforço do vento ou das correntes geostróficas, gerando \partial u / \partial x e/ou \partial v / \partial y \neq 0 em grande escala. A divergência horizontal resultante, integrada ao longo da camada, produz então um w distinto de zero na base da camada de Ekman.

Resposta

\nabla \cdot \vec{u} = 0. Isso mostra que a solução local de Ekman não gera movimento vertical interno; o Ekman pumping só ocorre se houver variação horizontal do esforço de vento ou da geostrófica.

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