Um escoamento com campo de velocidade
é dito não divergente quando
, onde:
.
Considere o campo
sendo dado pelas velocidades de Ekman. Calcule a divergência desse campo e comente sobre a implicação desse resultado para os movimentos verticais.
Considere o campo
Passo 1
O enunciado lembra que um fluido incompressível (ou não divergente) satisfaz
Aqui queremos calcular essa divergência para o campo de velocidades de Ekman, cujas componentes horizontais variam apenas com a profundidade
e cuja componente vertical
é nula na solução clássica local.
Passo 2
Escrevendo a forma padrão da espiral de Ekman sobre correntes geostróficas de módulo
e profundidade de escala
, temos
Observe que
e
dependem apenas de
, sem nenhuma variação em
ou
.
Passo 3
Calculamos cada termo da divergência:
pois
não depende de
.
pois
não depende de
.
.
Somando,
Somando,
Passo 4
Como
, o campo de Ekman é estritamente não divergente. Isso implica que, localmente, não há criação de velocidade vertical dentro da camada de Ekman: qualquer
constante satisfaz a equação de continuidade, e como dele impomos
na superfície, resulta
no interior.
Passo 5
Para que surja movimento vertical (o chamado Ekman pumping ou suction), é preciso que haja variação horizontal do esforço do vento ou das correntes geostróficas, gerando
e/ou
em grande escala. A divergência horizontal resultante, integrada ao longo da camada, produz então um
distinto de zero na base da camada de Ekman.