Considere a região R limitada pela hipérbole x^{2}-y^{2}=1 e pelas retas y=0 e x=2. Sabendo que a área de R é aproximadamente 1.07, encontre valores aproximados para as coordenadas x_{c} e y_{c} do centro de massa de R.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as coordenadas do centro de massa (centroide) x_{c} e y_{c} da região R limitada por:
  • a hipérbole x^{2}-y^{2}=1,
  • a reta y=0,
  • a reta vertical x=2.
    O enunciado informa também que a área da região é aproximadamente A\approx 1,07.
Informações relevantes (tiradas do enunciado e da figura):
  • A hipérbole intersecta o eixo y=0 nos pontos (\pm 1,0); a porção usada é o ramo da direita, com x\ge 1.
  • Para x=2 a hipérbole dá 2^{2}-y^{2}=1\Rightarrow y^{2}=3, então o valor superior de y na região é y=\sqrt{3}.
  • Portanto a região R pode ser descrita como o conjunto de pontos com 0\le y\le \sqrt{3} e, para cada y fixo, x variando de x=\sqrt{1+y^{2}} até x=2.
O objetivo final: calcular x_{c} e y_{c} (coordenadas do centro de massa) da lamina de densidade uniforme ocupando R.

Passo 2

Fórmulas e escolha do método (passo-a-passo bem didático).
  • Para uma lamina de densidade uniforme, as coordenadas do centroide são
x_{c}=\frac{1}{A}\iint_{R} x\,dA,\qquad y_{c}=\frac{1}{A}\iint_{R} y\,dA,
onde A é a área de R (aqui A\approx 1,07).
  • Como a região é naturalmente descrita por limites em y (de 0 a \sqrt{3}) e para cada y temos x variando entre duas curvas, é prático usar tiras horizontais (integrar em y). Numa tira horizontal infinitesimal em y, a largura em x é
\text{largura} = x_{\text{direita}}-x_{\text{esquerda}} = 2-\sqrt{1+y^{2}}.
A área elementar é dA=(2-\sqrt{1+y^{2}})\,dy.
Assim podemos escrever as integrais duplas como integrais simples em y:
\iint_{R} x\,dA = \int_{y=0}^{\sqrt{3}}\left(\int_{x=\sqrt{1+y^{2}}}^{2} x\,dx\right)dy, \qquad \iint_{R} y\,dA = \int_{y=0}^{\sqrt{3}} y\bigl(2-\sqrt{1+y^{2}}\bigr)\,dy.

Passo 3

Cálculo de \iint_{R} x\,dA (numerador de x_{c}), com desenvolvimento completo.
  • Primeiro calcule a integral interna em x:
\int_{x=\sqrt{1+y^{2}}}^{2} x\,dx = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{x=\sqrt{1+y^{2}}}^{2} = \frac{2^{2}}{2}-\frac{(\sqrt{1+y^{2}})^{2}}{2} = \frac{4-(1+y^{2})}{2} = \frac{3-y^{2}}{2}.
  • Agora integramos em y de 0 a \sqrt{3}:
\iint_{R} x\,dA = \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{3-y^{2}}{2}\,dy = \frac{1}{2}\left[3y-\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{\sqrt{3}}.
  • Avaliando:
\frac{1}{2}\left(3\sqrt{3}-\frac{(\sqrt{3})^{3}}{3}\right) = \frac{1}{2}\left(3\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{1}{2}\left(3\sqrt{3}-\sqrt{3}\right) = \frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3} = \sqrt{3}.
Portanto o numerador de x_{c} é exatamente \sqrt{3}.
  • Usando A\approx 1,07, obtemos
x_{c} \approx \frac{\sqrt{3}}{1,07}.
Cálculo numérico: \sqrt{3}\approx 1,73205, logo
x_{c}\approx \frac{1,73205}{1,07}\approx 1,619.

Passo 4

Cálculo de \iint_{R} y\,dA (numerador de y_{c}), com desenvolvimento completo.
  • Escrevemos
\iint_{R} y\,dA = \int_{0}^{\sqrt{3}} y\bigl(2-\sqrt{1+y^{2}}\bigr)\,dy = \int_{0}^{\sqrt{3}} 2y\,dy - \int_{0}^{\sqrt{3}} y\sqrt{1+y^{2}}\,dy.
  • A primeira integral é trivial:
\int_{0}^{\sqrt{3}} 2y\,dy = \left.y^{2}\right|_{0}^{\sqrt{3}} = (\sqrt{3})^{2}=3.
  • Para a segunda integral use substituição: seja u=1+y^{2}, então du=2y\,dy e y\,dy=du/2. Quando y=0 temos u=1; quando y=\sqrt{3} temos u=4. Assim
\int_{0}^{\sqrt{3}} y\sqrt{1+y^{2}}\,dy = \int_{u=1}^{4} \frac{1}{2} u^{1/2}\,du = \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3} u^{3/2}\Big|_{1}^{4} = \frac{1}{3}\bigl(4^{3/2}-1^{3/2}\bigr).
  • Calculando 4^{3/2}= ( \sqrt{4} )^{3} = 2^{3}=8, obtemos
\int_{0}^{\sqrt{3}} y\sqrt{1+y^{2}}\,dy = \frac{1}{3}(8-1)=\frac{7}{3}.
  • Portanto o numerador de y_{c} é
\iint_{R} y\,dA = 3 - \frac{7}{3} = \frac{2}{3}.
  • Dividindo pela área A\approx 1,07:
y_{c}\approx \frac{\tfrac{2}{3}}{1,07} = \frac{2}{3\cdot 1,07}.
Cálculo numérico: \tfrac{2}{3}\approx 0,6666667, então
y_{c}\approx \frac{0,6666667}{1,07}\approx 0,623.

Passo 5

Resumo rápido e verificação informal:
  • Encontramos uma expressão exata para os numeradores das coordenadas: \iint_{R} x\,dA=\sqrt{3} e \iint_{R} y\,dA=\tfrac{2}{3}.
  • Usando a área aproximada fornecida A\approx 1,07 obtemos as coordenadas aproximadas indicadas abaixo.

Resposta

x_{c}\approx 1,619
y_{c}\approx 0,623

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