Considere a região R limitada pela hipérbole x^{2}-y^{2}=1 e pelas retas y=0 e x=2. Sabendo que a área de R é aproximadamente 1.07, encontre valores aproximados para as coordenadas x_{c} e y_{c} do centro de massa de R.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as coordenadas do centro de massa (centroide) x_{c} e y_{c} da região R limitada por:
a hipérbole x^{2}-y^{2}=1,
a reta y=0,
a reta vertical x=2.
O enunciado informa também que a área da região é aproximadamente A\approx 1,07.
Informações relevantes (tiradas do enunciado e da figura):
A hipérbole intersecta o eixo y=0 nos pontos (\pm 1,0); a porção usada é o ramo da direita, com x\ge 1.
Para x=2 a hipérbole dá 2^{2}-y^{2}=1\Rightarrow y^{2}=3, então o valor superior de y na região é y=\sqrt{3}.
Portanto a região R pode ser descrita como o conjunto de pontos com 0\le y\le \sqrt{3} e, para cada y fixo, x variando de x=\sqrt{1+y^{2}} até x=2.
O objetivo final: calcular x_{c} e y_{c} (coordenadas do centro de massa) da lamina de densidade uniforme ocupando R.
Passo 2
Fórmulas e escolha do método (passo-a-passo bem didático).
Para uma lamina de densidade uniforme, as coordenadas do centroide são
Como a região é naturalmente descrita por limites em y (de 0 a \sqrt{3}) e para cada y temos x variando entre duas curvas, é prático usar tiras horizontais (integrar em y). Numa tira horizontal infinitesimal em y, a largura em x é