Suponha que a região R=\left\{(x, y): x \geq 1,0 \leq y \leq \frac{1}{x}\right\} é girada em torno de eixo x. Seja V o sólido resultante.
Encontre a área superficial de V.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Região dada: R=\{(x,y)\colon x\ge 1,\;0\le y\le \tfrac{1}{x}\}.
  • A região R é girada em torno do eixo x.
  • O sólido resultante chama-se V.
  • O enunciado pede: encontrar a área superficial de V (ou seja, a área total da superfície do sólido gerado por R ao girar em torno do eixo x).

Passo 2

Qual fórmula usar para a área de uma superfície de revolução? Vamos entender e justificar a fórmula de forma simples.
  • Considere uma curva y=f(x), f(x)\ge0, para a\le x\le b. Ao girar essa curva em torno do eixo x, a área lateral gerada (a “casca” do sólido) é obtida somando circunferências de raio y ao longo da curva.
  • Um elemento de arco da curva tem comprimento diferencial
ds=\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^2}\,dx,
onde f'(x) é a derivada de f e mede a inclinação da curva. Explicando: se a curva sobe um pouco quando x aumenta em dx, o comprimento real do pequeno trecho é maior que dx; a fórmula do comprimento de arco dá isso.
  • A circunferência gerada por esse pequeno trecho tem comprimento 2\pi \,y. Multiplicando comprimento da circunferência pelo comprimento do trecho obtemos a área diferencial da casca:
dS = 2\pi\,y\,ds = 2\pi\,y\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx.
  • Portanto a área lateral do sólido gerado por y=f(x) de x=a até x=b ao redor do eixo x é
S_{\text{lateral}}=2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^2}\,dx.
Aqui f(x) é o raio (distância ao eixo x) e f'(x) é a taxa de variação de y em relação a x.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
  • Na nossa região a curva superior é y=f(x)=\dfrac{1}{x} para x\ge1. Então precisamos da derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}.
  • Substituindo na fórmula de área lateral:
S_{\text{lateral}}=2\pi\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\sqrt{1+\left(-\frac{1}{x^2}\right)^2}\,dx =2\pi\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}\,dx.

Passo 4

Agora precisamos decidir se essa integral converge (dá área finita) ou diverge (área infinita). Vamos estudar o comportamento do integrando para x grande e usar comparação.
  • Para todo x\ge1 vale \sqrt{1+\dfrac{1}{x^4}}\ge 1. Logo, para x\ge1,
\frac{1}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}\ge \frac{1}{x}.
  • Multiplicando por 2\pi,
2\pi\cdot\frac{1}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}\ge \frac{2\pi}{x}.
  • Sabemos que a integral \displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx diverge (é \lim_{A\to\infty}\ln A = \infty). Portanto, pela comparação, a integral
2\pi\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}\,dx
também diverge para +\infty. Conclusão: a área lateral S_{\text{lateral}} é infinita.

Passo 5

Verificação sobre possíveis “tampas” do sólido:
  • Ao girar a reta x=1 com 0\le y\le \tfrac{1}{1}=1 obtém-se um disco em x=1 de raio 1 cuja área é finita:
S_{\text{tampa}}=\pi\cdot 1^2=\pi.
  • O outro extremo, quando x\to\infty, a função y=\tfrac{1}{x} tende a 0, então não há tampão no infinito (a seção vai a zero).

Passo 6

Juntando tudo:
  • A área total superficial de V é a soma da área lateral (que já vimos ser infinita) mais a área da tampa em x=1 (que é \pi). Soma de infinito com um número finito continua sendo infinito.
  • Portanto a área superficial total de V diverge (é infinita).

Resposta

A área superficial de V é infinita (diverge).

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