Suponha que a região
é girada em torno de eixo
. Seja
o sólido resultante.
Encontre a área superficial de
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Região dada:
. - A região
é girada em torno do eixo . - O sólido resultante chama-se
. - O enunciado pede: encontrar a área superficial de
(ou seja, a área total da superfície do sólido gerado por ao girar em torno do eixo ).
Passo 2
Qual fórmula usar para a área de uma superfície de revolução? Vamos entender e justificar a fórmula de forma simples.
- Considere uma curva
, , para . Ao girar essa curva em torno do eixo , a área lateral gerada (a “casca” do sólido) é obtida somando circunferências de raio ao longo da curva. - Um elemento de arco da curva tem comprimento diferencial
onde
é a derivada de
e mede a inclinação da curva. Explicando: se a curva sobe um pouco quando
aumenta em
, o comprimento real do pequeno trecho é maior que
; a fórmula do comprimento de arco dá isso.
- A circunferência gerada por esse pequeno trecho tem comprimento
. Multiplicando comprimento da circunferência pelo comprimento do trecho obtemos a área diferencial da casca:
- Portanto a área lateral do sólido gerado por
de até ao redor do eixo é
Aqui
é o raio (distância ao eixo
) e
é a taxa de variação de
em relação a
.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
- Na nossa região a curva superior é
para . Então precisamos da derivada:
- Substituindo na fórmula de área lateral:
Passo 4
Agora precisamos decidir se essa integral converge (dá área finita) ou diverge (área infinita). Vamos estudar o comportamento do integrando para
grande e usar comparação.
- Para todo
vale . Logo, para ,
- Multiplicando por
,
- Sabemos que a integral
diverge (é ). Portanto, pela comparação, a integral
também diverge para
. Conclusão: a área lateral
é infinita.
Passo 5
Verificação sobre possíveis “tampas” do sólido:
- Ao girar a reta
com obtém-se um disco em de raio cuja área é finita:
- O outro extremo, quando
, a função tende a , então não há tampão no infinito (a seção vai a zero).
Passo 6
Juntando tudo:
- A área total superficial de
é a soma da área lateral (que já vimos ser infinita) mais a área da tampa em (que é ). Soma de infinito com um número finito continua sendo infinito. - Portanto a área superficial total de
diverge (é infinita).
Resposta
A área superficial de
é infinita (diverge).