Suponha que a região
é girada em torno de eixo
. Seja
o sólido resultante.
Encontre o volume de
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o volume
do sólido obtido ao girar a região
em torno do eixo
.
Informações relevantes dadas:
- A região é limitada inferiormente pela reta
e superiormente pela curva . - O intervalo de
vai de até . - O sólido é gerado pela rotação em torno do eixo
.
Passo 2
Qual método usar e por quê (explicação didática e escolha do método).
- Quando uma região dada por
(com ) é girada em torno do eixo , é natural aproximar o sólido por discos (ou “fatias” cilíndricas): cada fatia em tem espessura e raio igual a . - A ideia: o volume de um disco de raio
e espessura é aproximadamente a área da base vezes a espessura, isto é . - Aqui a função superior é
. Portanto cada fatia tem raio . - Assim o volume total é obtido somando (integrando) as contribuições
ao longo de de a . Como o intervalo é infinito, teremos um integral impróprio.
Esta escolha (método dos discos) é a mais direta e simples neste caso porque os cortes perpendiculares ao eixo de rotação são círculos cujo raio é dado diretamente por
.
Passo 3
Montar o integral impróprio que dá o volume.
- Fórmula (disco): se a região entre
e para é girada em torno do eixo , então o volume é
- Substituindo
e obtemos
Passo 4
Avaliar o integral impróprio: trocar pelo limite e achar a primitiva.
- Primeiro escrever o integral como limite:
- Calcular a primitiva de
. Lembrando a regra de potências:
Aqui
, então
Passo 5
Aplicar os limites e tomar o limite próprio.
- Portanto
- Tomando
:
- Multiplicando por
,
Passo 6
Interpretação final e observação de interesse (uma nota motivadora).
- O volume do sólido é finito e vale
. Esse sólido é o famoso “Cornucópia de Gabriel” (Gabriel’s Horn), conhecido por ter volume finito mas área de superfície infinita — curiosidade interessante para lembrar na prova. - Força aí! Se aparecer uma variação parecida (região entre
e girada em torno de ), aplica o mesmo procedimento: identificar raio , montar , verificar se é impróprio e avaliá-lo.