Suponha que a região R=\left\{(x, y): x \geq 1,0 \leq y \leq \frac{1}{x}\right\} é girada em torno de eixo x. Seja V o sólido resultante.
Encontre o volume de V

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o volume V do sólido obtido ao girar a região
R=\{(x,y): x\ge 1,\\\ 0\le y\le \tfrac{1}{x}\}
em torno do eixo x.
Informações relevantes dadas:
  • A região é limitada inferiormente pela reta y=0 e superiormente pela curva y=\tfrac{1}{x}.
  • O intervalo de x vai de x=1 até x\to\infty.
  • O sólido é gerado pela rotação em torno do eixo x.

Passo 2

Qual método usar e por quê (explicação didática e escolha do método).
  • Quando uma região dada por y=f(x) (com f(x)\ge0) é girada em torno do eixo x, é natural aproximar o sólido por discos (ou “fatias” cilíndricas): cada fatia em x tem espessura \,dx e raio igual a f(x).
  • A ideia: o volume de um disco de raio r e espessura \,dx é aproximadamente a área da base vezes a espessura, isto é \pi r^2\,dx.
  • Aqui a função superior é f(x)=\tfrac{1}{x}. Portanto cada fatia tem raio r=f(x)=\tfrac{1}{x}.
  • Assim o volume total é obtido somando (integrando) as contribuições \pi\big(f(x)\big)^2\,dx ao longo de x de 1 a \infty. Como o intervalo é infinito, teremos um integral impróprio.
Esta escolha (método dos discos) é a mais direta e simples neste caso porque os cortes perpendiculares ao eixo de rotação são círculos cujo raio é dado diretamente por y=\tfrac{1}{x}.

Passo 3

Montar o integral impróprio que dá o volume.
  • Fórmula (disco): se a região entre y=0 e y=f(x) para a\le x<\infty é girada em torno do eixo x, então o volume é
V=\int_{a}^{\infty}\pi\big(f(x)\big)^2\,dx.
  • Substituindo f(x)=\tfrac{1}{x} e a=1 obtemos
V=\int_{1}^{\infty}\pi\left(\frac{1}{x}\right)^2 dx =\pi\int_{1}^{\infty}x^{-2}\,dx.

Passo 4

Avaliar o integral impróprio: trocar pelo limite e achar a primitiva.
  • Primeiro escrever o integral como limite:
V=\pi\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}x^{-2}\,dx.
  • Calcular a primitiva de x^{-2}. Lembrando a regra de potências:
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad(\text{quando }n\neq-1).
Aqui n=-2, então
\int x^{-2}\,dx=\frac{x^{-1}}{-1}+C=-x^{-1}+C=-\frac{1}{x}+C.

Passo 5

Aplicar os limites e tomar o limite próprio.
  • Portanto
\int_{1}^{b}x^{-2}\,dx=\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{b}=-\frac{1}{b}-\Big(-\frac{1}{1}\Big)=-\frac{1}{b}+1.
  • Tomando b\to\infty:
\lim_{b\to\infty}\left(-\frac{1}{b}+1\right)=0+1=1.
  • Multiplicando por \pi,
V=\pi\cdot 1=\pi.

Passo 6

Interpretação final e observação de interesse (uma nota motivadora).
  • O volume do sólido é finito e vale \pi. Esse sólido é o famoso “Cornucópia de Gabriel” (Gabriel’s Horn), conhecido por ter volume finito mas área de superfície infinita — curiosidade interessante para lembrar na prova.
  • Força aí! Se aparecer uma variação parecida (região entre y=0 e y=g(x) girada em torno de x), aplica o mesmo procedimento: identificar raio g(x), montar V=\int \pi [g(x)]^2 dx, verificar se é impróprio e avaliá-lo.

Resposta

\pi

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