Considere a região
limitada por
e
.
a) Esboce a região
.
b) Expresse a área de
usando uma integral definida.
c) Expresse o comprimento de arco de
que limita
.
d) Considere o sólido gerado pela rotação de R ao redor do eixo
. Qual das integrais representa o seu volume
?
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v) nenhuma das alternativas anteriores
a) Esboce a região
b) Expresse a área de
c) Expresse o comprimento de arco de
d) Considere o sólido gerado pela rotação de R ao redor do eixo
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v) nenhuma das alternativas anteriores
Passo 1
O enunciado define a região
no primeiro quadrante limitada pela parábola
, pela reta horizontal
e pela reta vertical
. Precisamos (a) esboçar
, (b) escrever uma integral para sua área, (c) escrever uma integral para o comprimento de arco da curva
de
a
, e (d) identificar, entre as alternativas dadas, a integral que calcula o volume do sólido obtido ao girar
em torno do eixo
. Vamos usar integração de fatias para área e volume, e a fórmula de comprimento de arco.
Passo 2
Para esboçar, primeiro achamos a interseção entre
e
:
Logo os vértices da região são
na parábola,
na interseção, e o ponto
na reta
. A região
fica entre a curva ascendente de
a
, a reta horizontal de
a
e o eixo vertical
.
Passo 3
A área de
é dada por
Passo 4
O comprimento de arco da curva
de
a
usa
Como
temos
Passo 5
Para o volume gerado por rotação em torno do eixo
, usamos a fórmula dos anéis (washers), com raio externo
e interno
:
Nenhuma das alternativas (i) a (iv) coincide com
.
Resposta
(a) A região é o domínio no primeiro quadrante limitado pela curva
de
a
, pela reta
e por
.
(b) .
(c) .
(d) A integral correta é , logo (v) nenhuma das alternativas anteriores.
(b)
(c)
(d) A integral correta é