Considere a região R limitada por y=2 raizx, y=2 e x=0.
a) Esboce a região R.
b) Expresse a área de R usando uma integral definida.
c) Expresse o comprimento de arco de y=2 raizx que limita R.
d) Considere o sólido gerado pela rotação de R ao redor do eixo x. Qual das integrais representa o seu volume V ?
(i) I=4 pi integral-1^1(1-x2) d x
(ii) I=4 pi integral0^1(1+x) d x
(iii) I=4 pi integral-1^1(1-x) d x
(iv) I=4 integral0^1(1+x) d x
(v) nenhuma das alternativas anteriores

Passo 1

O enunciado define a região R no primeiro quadrante limitada pela parábola y=2raizx, pela reta horizontal y=2 e pela reta vertical x=0. Precisamos (a) esboçar R, (b) escrever uma integral para sua área, (c) escrever uma integral para o comprimento de arco da curva y=2raizx de x=0 a x=1, e (d) identificar, entre as alternativas dadas, a integral que calcula o volume do sólido obtido ao girar R em torno do eixo x. Vamos usar integração de fatias para área e volume, e a fórmula de comprimento de arco.

Passo 2

Para esboçar, primeiro achamos a interseção entre y=2raizx e y=2:
2 = 2raizx implies raizx=1 implies x=1
Logo os vértices da região são (0,0) na parábola, (1,2) na interseção, e o ponto (0,2) na reta y=2. A região R fica entre a curva ascendente de (0,0) a (1,2), a reta horizontal de (0,2) a (1,2) e o eixo vertical x=0.

Passo 3

A área de R é dada por
A =integralx=0^1l(cima baixor),dx =integral0^1l(2 - 2raizxr),dx

Passo 4

O comprimento de arco da curva y=2raizx de x=0 a x=1 usa
L =integral0^1raiz1+l(y'(x)r)^2;dx
Como
y'(x)=ddxl(2raizxr) =22raizx =1raizx,
temos
L =integral0^1raiz1+1x;dx

Passo 5

Para o volume gerado por rotação em torno do eixo x, usamos a fórmula dos anéis (washers), com raio externo R(x)=2 e interno r(x)=2raizx:
V =piintegral0^1l[R(x)^2-r(x)^2r],dx =piintegral0^1l[4 - 4xr],dx =4piintegral0^1l(1 - xr),dx
Nenhuma das alternativas (i) a (iv) coincide com 4piintegral0^1(1-x),dx.

Resposta

(a) A região é o domínio no primeiro quadrante limitado pela curva y=2raizx de (0,0) a (1,2), pela reta y=2 e por x=0.
(b) A=integral0^1l(2-2raizxr),dx.
(c) L=integral0^1raiz1+1x;dx.
(d) A integral correta é V=4piintegral0^1(1-x),dx, logo (v) nenhuma das alternativas anteriores.

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