Q. 3(1,3). Determine p para que a função f(x)=lll1x & , & 0<x<p -x4+1 & , & x >= p seja contínua.
A função f será contínua em p se lim x p f(x)=f(p). Como f(p)=-p4+1 e lim x p f(x)=lim x p 1x=1p, temos:
1p=-p4+1 Rightarrow 4=-p^2+4 p Rightarrow p^2-4 p+4=0 Rightarrow(p-2)^2=0 Rightarrow p=2
Portanto, f(x)=ll1x & , 0<x<2 -x4+1 & , 0 é contínua.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= dfrac1x,&0<x<p,[6pt] -dfracx4+1,&x>= p,
e pede o valor de p para que f seja contínua em x=p. Para isso vamos usar a definição de continuidade:
limxto p^-f(x)=f(p)=limxto p^+f(x)
]

Passo 2

Calcular a imagem no ponto p. Como em x>= p vale o ramo f(x)=-tfracx4+1, temos
f(p)=-p4+1

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda. Para x<p vale f(x)=tfrac1x, então
limxto p^-f(x)=limxto p1x=1p

Passo 4

Impor a igualdade dos dois valores para garantir continuidade em p:
1p=-p4+1
Multiplicando ambos os lados por 4p obtemos
4 = -p^2 +4p Longrightarrow p^2-4p+4=0 Longrightarrow (p-2)^2=0

Resposta

p=2

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