Calcule a integral \int \frac{x^{3}-4 x-1}{x(x-1)^{3}} d x, usando a técnica de frações parciais.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral \displaystyle \int \frac{x^{3}-4 x-1}{x(x-1)^{3}}\,dx usando frações parciais.\n
Informações dadas e observações imediatas:\n
  • A função a integrar é uma função racional com numerador o polinômio x^{3}-4x-1 e denominador x(x-1)^{3}.\n
  • O denominador tem fatores lineares, sendo x simples e (x-1) repetido de ordem 3.\n
  • O grau do numerador é 3 e o grau do denominador é 4, então a fração já é própria (não é necessário dividir polinômios).\n
    Nada mais será resolvido neste passo — apenas identifiquei o pedido e os dados.

Passo 2

Ideia do método (frações parciais) e forma a ser usada:\n
Para decompor \displaystyle \frac{x^{3}-4 x-1}{x(x-1)^{3}} em frações parciais, como temos um fator linear x e um fator linear repetido (x-1)^{3}, a forma geral da decomposição é
\frac{x^{3}-4x-1}{x(x-1)^{3}}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^{2}}+\frac{D}{(x-1)^{3}}.
Aqui A,B,C,D são constantes desconhecidas que vamos determinar. Vou explicar passo a passo como encontrar essas constantes.

Passo 3

Transformação da identidade multiplicando ambos os lados pelo denominador comum:\n
Multiplicando por x(x-1)^{3} obtemos a identidade polinomial
x^{3}-4x-1 = A(x-1)^{3} + Bx(x-1)^{2} + Cx(x-1) + D x.
Essa igualdade deve valer para todo x. Usamos isso para determinar A,B,C,D.

Passo 4

Encontrar A e D por substituição de valores convenientes:\n
  • Tomando x=0 (isso anula os termos com fator x à direita), obtemos
(-1) = A(-1)^{3} \quad\Rightarrow\quad -1 = -A \quad\Rightarrow\quad A=1.
  • Tomando x=1 (isso anula todos os termos com (x-1) à direita, exceto Dx), obtemos
1^{3}-4\cdot1-1 = D\cdot1 \quad\Rightarrow\quad -4 = D.
Logo A=1 e D=-4.

Passo 5

Encontrar [B) e C usando outros valores de x e resolvendo o sistema:\n
Substituímos A e D na identidade e escolhemos valores fáceis para x.
  • Para x=2:
2^{3}-4\cdot2-1 = A(1)^{3} + B\cdot2\cdot1^{2} + C\cdot2\cdot1 + D\cdot2.
Calculando os lados: 8-8-1=-1 no lado esquerdo; com A=1 e D=-4 temos
-1 = 1 + 2B + 2C + 2(-4) \quad\Rightarrow\quad -1 = 1 + 2B + 2C -8.
Simplificando:
-1 = 2B + 2C -7 \quad\Rightarrow\quad 2B+2C=6 \quad\Rightarrow\quad B+C=3. \quad(1)
  • Para x=-1:
(-1)^{3}-4(-1)-1 = A(-2)^{3} + B(-1)(-2)^{2} + C(-1)(-2) + D(-1).
Calculando o lado esquerdo: -1+4-1=2. Usando A=1 e D=-4, o lado direito fica
-8 -4B + 2C -(-4) = -8 -4B +2C +4 = -4 -4B +2C.
Logo
2 = -4 -4B +2C \quad\Rightarrow\quad -4B+2C=6 \quad\Rightarrow\quad -2B + C =3. \quad(2)
Agora resolvemos o sistema formado por (1) e (2):
\begin{cases} B + C = 3,\\\\ -2B + C = 3. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira: (B+C)-(-2B+C)=3-3\Rightarrow 3B=0\Rightarrow B=0.\] Então \(C=3.
Portanto A=1, B=0, C=3, D=-4.

Passo 6

Escrever a decomposição final e simplificar a integral:\n
Com os coeficientes encontrados, temos
\frac{x^{3}-4x-1}{x(x-1)^{3}}=\frac{1}{x}+\frac{0}{x-1}+\frac{3}{(x-1)^{2}}-\frac{4}{(x-1)^{3}}.
Eliminando o termo nulo,
\frac{x^{3}-4x-1}{x(x-1)^{3}}=\frac{1}{x}+\frac{3}{(x-1)^{2}}-\frac{4}{(x-1)^{3}}.
Portanto a integral se separa em termos mais simples:
\int \frac{x^{3}-4x-1}{x(x-1)^{3}}\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx + 3\int \frac{1}{(x-1)^{2}}\,dx -4\int \frac{1}{(x-1)^{3}}\,dx.

Passo 7

Integrar termo a termo, explicando as regras usadas:\n
Usamos as duas regras básicas:
  • Para \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.\n
  • Para potências n\neq -1, \displaystyle \int (x-1)^{n}\,dx = \frac{(x-1)^{n+1}}{n+1} + C. Aqui podemos aplicar com n=-2 e n=-3. Alternativamente, note que a substituição u=x-1, du=dx dá a mesma forma.
Calculemos cada integral:
  • \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|.
  • \displaystyle 3\int (x-1)^{-2}\,dx = 3\cdot \frac{(x-1)^{-1}}{-1} = -\frac{3}{x-1}.
  • \displaystyle -4\int (x-1)^{-3}\,dx = -4\cdot \frac{(x-1)^{-2}}{-2} = \;2\,(x-1)^{-2} = \frac{2}{(x-1)^{2}}.
Somando tudo e acrescentando a constante de integração C, obtemos a primitiva.

Passo 8

Escrever a antiderivada final:\n
A antiderivada da função dada é
\ln|x| - \frac{3}{x-1} + \frac{2}{(x-1)^{2}} + C.

Resposta

\ln|x| - \dfrac{3}{x-1} + \dfrac{2}{(x-1)^{2}} + C

Exercícios relacionados