Calcule a integral \int \frac{x^{3}-4 x-1}{x(x-1)^{3}} d x, usando a técnica de frações parciais.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral \displaystyle \int \frac{x^{3}-4 x-1}{x(x-1)^{3}}\,dx usando frações parciais.\n
Informações dadas e observações imediatas:\n
A função a integrar é uma função racional com numerador o polinômio x^{3}-4x-1 e denominador x(x-1)^{3}.\n
O denominador tem fatores lineares, sendo x simples e (x-1) repetido de ordem 3.\n
O grau do numerador é 3 e o grau do denominador é 4, então a fração já é própria (não é necessário dividir polinômios).\n
Nada mais será resolvido neste passo — apenas identifiquei o pedido e os dados.
Passo 2
Ideia do método (frações parciais) e forma a ser usada:\n
Para decompor \displaystyle \frac{x^{3}-4 x-1}{x(x-1)^{3}} em frações parciais, como temos um fator linear x e um fator linear repetido (x-1)^{3}, a forma geral da decomposição é
Integrar termo a termo, explicando as regras usadas:\n
Usamos as duas regras básicas:
Para \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.\n
Para potências n\neq -1, \displaystyle \int (x-1)^{n}\,dx = \frac{(x-1)^{n+1}}{n+1} + C. Aqui podemos aplicar com n=-2 e n=-3. Alternativamente, note que a substituição u=x-1, du=dx dá a mesma forma.