Calcule a área
da região
delimitada pela reta
e pela parábola
.
Faça uma figura ilustrando a região e os limites de integração.
Faça uma figura ilustrando a região e os limites de integração.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área
da região
delimitada pela reta
e pela parábola
, e também solicita uma figura que ilustre a região e os limites de integração.
Informações dadas: as curvas são
Informações dadas: as curvas são
e
Perguntas explícitas: calcular a área
da região limitada por essas duas curvas e desenhar uma figura indicando a região e os limites de integração.
Passo 2
Precisamos encontrar onde as duas curvas se intersectam, porque essas interseções vão determinar os limites de integração. Para isso igualamos as duas expressões de
:
Reescrevendo,
Esta é uma equação quadrática. Vamos fatorar: procuramos dois números cujo produto seja
e soma seja
. São
e
, mas com sinais apropriados obtemos:
Portanto as soluções são
As coordenadas dos pontos de interseção (substituindo em
) são
Passo 3
Escolha do método: vamos usar integração em relação a
(tiras verticais). Isso é o mais direto aqui porque o intervalo das interseções é um intervalo simples em
de
a
. A ideia básica (fórmula) para área entre duas curvas é:
onde
é a função que fica acima no intervalo
e
é a que fica abaixo. Motivação intuitiva: pense numa fita vertical de largura
; a altura dessa fita é a diferença das ordens das curvas
; somando (integrando) essas áreas de fita obtemos a área total.
Passo 4
Precisamos identificar qual é a curva de cima (top) e qual de baixo (bottom) entre
e
. Tomemos um ponto de teste, por exemplo
. Então
e
Logo a parábola
está acima da reta
no intervalo considerado. Portanto
A integral que dá a área é
Passo 5
Agora calculamos a integral passo a passo. Primeiro achamos uma primitiva (antiderivada) da função integranda
. Integramos termo a termo:
-
. Aqui é constante, a integral é vezes . -
. Regra: para . -
.
Somando as primitivase temos a antiderivada
Então
Passo 6
Calculemos
e
com cuidado:
Para
,
Como
, temos
Para
,
Observe que
. Então
Agora
:
Para somar as frações, usamos denominador comum
:
Passo 7
Interpretação final: a área da região
delimitada pela parábola
e a reta
é
Em forma decimal isso é
unidades quadradas. Bom lembrar que a resposta exata
é a preferida em provas.
Passo 8
Figura ilustrativa (esboço textual). Aqui vai um desenho esquemático da região no plano
. Os números e pontos relevantes estão entre parênteses para destaque; coordenadas e marcas numéricas estão escritas em forma matemática.
y
^
^
| . |
|---|
| . . (pico da parábola em
|
| . . |
| . . |
| . . |
| . . |
| . . |
| . . |
| . . |
| . . |
| --------------.-----------------------
|
| .
|
| . . . |
| . . . |
(Esboço) pontos de interseção:
e
Descrição da figura: a parábola
abre para baixo com vértice em
; a reta
é uma linha de
. As curvas se encontram em
e
. A região
é a “fatia” entre as duas curvas para
variando de
a
; para cada
nessa faixa a altura da fatia é
. Na integral usamos tiras verticais (espessura
) e somamos para obter a área.