Calcule a área A da região R delimitada pela reta y=x e pela parábola y=6-x^{2}.
Faça uma figura ilustrando a região e os limites de integração.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área A da região R delimitada pela reta y=x e pela parábola y=6-x^{2}, e também solicita uma figura que ilustre a região e os limites de integração.
Informações dadas: as curvas são
y=x
e
y=6-x^{2}.
Perguntas explícitas: calcular a área A da região limitada por essas duas curvas e desenhar uma figura indicando a região e os limites de integração.

Passo 2

Precisamos encontrar onde as duas curvas se intersectam, porque essas interseções vão determinar os limites de integração. Para isso igualamos as duas expressões de y:
x = 6 - x^{2}.
Reescrevendo,
x^{2} + x - 6 = 0.
Esta é uma equação quadrática. Vamos fatorar: procuramos dois números cujo produto seja -6 e soma seja 1. São 3 e -2, mas com sinais apropriados obtemos:
x^{2} + x - 6 = (x+3)(x-2)=0.
Portanto as soluções são
x=-3 \quad\text{e}\quad x=2.
As coordenadas dos pontos de interseção (substituindo em y=x) são
(-3,-3)\quad\text{e}\quad(2,2).

Passo 3

Escolha do método: vamos usar integração em relação a x (tiras verticais). Isso é o mais direto aqui porque o intervalo das interseções é um intervalo simples em x de -3 a 2. A ideia básica (fórmula) para área entre duas curvas é:
\text{Área}=\int_{a}^{b} \big(f_{\text{top}}(x)-f_{\text{bottom}}(x)\big)\,dx,Á
onde f_{\text{top}}(x) é a função que fica acima no intervalo [a,b] e f_{\text{bottom}}(x) é a que fica abaixo. Motivação intuitiva: pense numa fita vertical de largura dx; a altura dessa fita é a diferença das ordens das curvas f_{\text{top}}-f_{\text{bottom}}; somando (integrando) essas áreas de fita obtemos a área total.

Passo 4

Precisamos identificar qual é a curva de cima (top) e qual de baixo (bottom) entre x=-3 e x=2. Tomemos um ponto de teste, por exemplo x=0. Então
y_{\text{parábola}}(0)=6-0^{2}=6á
e
y_{\text{reta}}(0)=0.
Logo a parábola y=6-x^{2} está acima da reta y=x no intervalo considerado. Portanto
f_{\text{top}}(x)=6-x^{2},\qquad f_{\text{bottom}}(x)=x.
A integral que dá a área é
A=\int_{-3}^{2} \big((6-x^{2})-x\big)\,dx=\int_{-3}^{2} \big(6 - x^{2} - x\big)\,dx.

Passo 5

Agora calculamos a integral passo a passo. Primeiro achamos uma primitiva (antiderivada) da função integranda 6 - x^{2} - x. Integramos termo a termo:
  • \displaystyle \int 6\,dx = 6x. Aqui 6 é constante, a integral é 6 vezes x.
  • \displaystyle \int (-x^{2})\,dx = -\frac{x^{3}}{3}. Regra: \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
  • \displaystyle \int (-x)\,dx = -\frac{x^{2}}{2}.
Somando as primitivase temos a antiderivada
F(x)=6x - \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2}.
Então
A = F(2)-F(-3).

Passo 6

Calculemos F(2) e F(-3) com cuidado:
Para x=2,
F(2)=6\cdot 2 - \frac{2^{3}}{3} - \frac{2^{2}}{2} =12 - \frac{8}{3} - \frac{4}{2}.
Como \frac{4}{2}=2, temos
F(2)=12 - \frac{8}{3} - 2 =10 - \frac{8}{3} = \frac{30}{3} - \frac{8}{3} = \frac{22}{3}.
Para x=-3,
F(-3)=6\cdot(-3) - \frac{(-3)^{3}}{3} - \frac{(-3)^{2}}{2} = -18 - \frac{-27}{3} - \frac{9}{2}.
Observe que -\frac{-27}{3}=+9. Então
F(-3)=-18 + 9 - \frac{9}{2} = -9 - \frac{9}{2} = -\frac{18}{2} - \frac{9}{2} = -\frac{27}{2}.
Agora A=F(2)-F(-3):
A=\frac{22}{3} - \left(-\frac{27}{2}\right)=\frac{22}{3} + \frac{27}{2}.
Para somar as frações, usamos denominador comum 6:
A=\frac{44}{6} + \frac{81}{6} = \frac{125}{6}.

Passo 7

Interpretação final: a área da região R delimitada pela parábola y=6-x^{2} e a reta y=x é
A=\frac{125}{6}.
Em forma decimal isso é A\approx 20{,}833 unidades quadradas. Bom lembrar que a resposta exata \frac{125}{6} é a preferida em provas.

Passo 8

Figura ilustrativa (esboço textual). Aqui vai um desenho esquemático da região no plano xy. Os números e pontos relevantes estão entre parênteses para destaque; coordenadas e marcas numéricas estão escritas em forma matemática.
y
^
.
. . (pico da parábola em x=0,y=6)
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
--------------.----------------------- \leftarrow eixo x
. \cdot . . . . . (reta y=x)
. . .
. . .
(Esboço) pontos de interseção:
(-3,-3) e (2,2)
Descrição da figura: a parábola y=6-x^{2} abre para baixo com vértice em (0,6); a reta y=x é uma linha de 45^\circ. As curvas se encontram em (-3,-3) e (2,2). A região R é a “fatia” entre as duas curvas para x variando de -3 a 2; para cada x nessa faixa a altura da fatia é (6-x^{2})-x. Na integral usamos tiras verticais (espessura dx) e somamos para obter a área.

Resposta

\dfrac{125}{6}

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