Considere a região plana R delimitada pelas retas y=2,9, y=3 x e y=2 x.
Se a densidade em um ponto ( x, y ) da região R é dada por f(x, y)=3 x^{2}+5 y^{2}, determine a massa da região R.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (tudo isto foi retirado do enunciado):
  • A região plana R é delimitada pelas retas y=2, y=3x e y=2x.
  • A densidade em cada ponto (x,y) da região é dada por f(x,y)=3x^{2}+5y^{2}.
  • O que se pede: determinar a massa total da região R.

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (aulas rápidas e diretas): a massa M de uma lamina plana com densidade \rho(x,y) distribuída na região R é dada pela integral dupla
M=\iint_{R} \rho(x,y)\,dA.
Aqui \rho(x,y) é a função densidade (no nosso caso \rho(x,y)=3x^{2}+5y^{2}) e dA representa um elemento de área (pense em um pequeníssimo retângulo de lados dx e dy; então dA=dx\,dy ou dA=dy\,dx conforme a ordem). A ideia é somar a densidade vezes a área em toda a região.

Passo 3

Descrever a região R com cuidado (isso é crucial para montar a integral).
  • Intersecções das retas (calculei resolvendo as equações das retas duas a duas):
    • Entre y=3x e y=2: tomar 3x=2 x=\tfrac{2}{3}. Ponto \bigl(\tfrac{2}{3},2\bigr).
    • Entre y=2x e y=2: tomar 2x=2 x=1. Ponto (1,2).
    • Entre y=3x e y=2x: tomar 3x=2x x=0. Ponto (0,0).
  • Logo, os vértices do triângulo são (0,0), \bigl(\tfrac{2}{3},2\bigr) e (1,2).
  • Para escrever limites de integração num único par de integrais é conveniente escolher integração na ordem dx\,dy: para cada valor fixo de y entre 0 e 2, x varia entre a reta de menor x (que é x=\tfrac{y}{3}, obtida de y=3x) e a reta de maior x (que é x=\tfrac{y}{2}, obtida de y=2x). Portanto 0\le y\le 2,\qquad \frac{y}{3}\le x\le\frac{y}{2}.
(Isto é mais simples que dividir em duas fatias verticais; por isso escolhi esta ordem.)

Passo 4

Montar a integral dupla para a massa usando o que acabamos de decidir:
M=\iint_{R} \bigl(3x^{2}+5y^{2}\bigr)\,dA =\int_{y=0}^{2}\left(\int_{x=\frac{y}{3}}^{\frac{y}{2}}\bigl(3x^{2}+5y^{2}\bigr)\,dx\right)dy.
Explico cada pedaço:
  • O integrando 3x^{2}+5y^{2} é a densidade.
  • A integração interna \displaystyle\int_{x=\frac{y}{3}}^{\frac{y}{2}}(\cdots)\,dx soma ao longo de x para um y fixo.
  • A integração externa \displaystyle\int_{0}^{2}(\cdots)\,dy soma esses resultados para todos os y entre 0 e 2.

Passo 5

Calcular a integral interna passo a passo.
Calcule
I(y)=\int_{x=\frac{y}{3}}^{\frac{y}{2}}\bigl(3x^{2}+5y^{2}\bigr)\,dx.
Integral de cada termo em x:
  • \displaystyle\int 3x^{2}\,dx = x^{3} porque a antiderivada de x^{2} é \tfrac{x^{3}}{3} e multiplicando por 3 volta a ser x^{3}.
  • \displaystyle\int 5y^{2}\,dx = 5y^{2}x porque y é tratado como constante ao integrar em x.
Assim,
I(y)=\left[x^{3}+5y^{2}x\right]_{x=\frac{y}{3}}^{x=\frac{y}{2}}.
Avaliar nas bordas:
  • Em x=\tfrac{y}{2}: \left(\tfrac{y}{2}\right)^{3}+5y^{2}\left(\tfrac{y}{2}\right) =\frac{y^{3}}{8}+\frac{5y^{3}}{2} =y^{3}\!\left(\frac{1}{8}+\frac{5}{2}\right) =y^{3}\!\left(\frac{1}{8}+\frac{20}{8}\right) =\frac{21}{8}\,y^{3}.
  • Em x=\tfrac{y}{3}: \left(\tfrac{y}{3}\right)^{3}+5y^{2}\left(\tfrac{y}{3}\right) =\frac{y^{3}}{27}+\frac{5y^{3}}{3} =y^{3}\!\left(\frac{1}{27}+\frac{5}{3}\right) =y^{3}\!\left(\frac{1}{27}+\frac{45}{27}\right) =\frac{46}{27}\,y^{3}.
Agora a diferença:
I(y)=y^{3}\!\left(\frac{21}{8}-\frac{46}{27}\right).
Colocando em denominador comum 216 para subtrair:
\frac{21}{8}=\frac{567}{216},\qquad \frac{46}{27}=\frac{368}{216},
logo
\frac{21}{8}-\frac{46}{27}=\frac{567-368}{216}=\frac{199}{216}.
Portanto
I(y)=\frac{199}{216}\,y^{3}.

Passo 6

Agora integrar em y para obter M:
M=\int_{0}^{2} I(y)\,dy=\int_{0}^{2}\frac{199}{216}\,y^{3}\,dy =\frac{199}{216}\int_{0}^{2} y^{3}\,dy.
A antiderivada de y^{3} é \tfrac{y^{4}}{4}, então
M=\frac{199}{216}\left[\frac{y^{4}}{4}\right]_{0}^{2} =\frac{199}{216}\cdot\frac{2^{4}}{4} =\frac{199}{216}\cdot\frac{16}{4} =\frac{199}{216}\cdot 4 =\frac{796}{216}.
Simplificando dividindo numerador e denominador por 4:
M=\frac{199}{54}.

Passo 7

Interpretação curta e encorajamento: a massa da lâmina com densidade 3x^{2}+5y^{2} sobre o triângulo descrito é exatamente a integral que calculamos; chegar à fração \tfrac{199}{54} mostra que tudo se simplificou bem. Tá indo bem — a técnica principal é sempre descrever bem a região e escolher a ordem de integração que evita dividir em várias peças.

Resposta

\dfrac{199}{54}

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