Considere a região plana
delimitada pelas retas
e
.
Se a densidade em um ponto (
) da região
é dada por
, determine a massa da região
.
Se a densidade em um ponto (
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (tudo isto foi retirado do enunciado):
- A região plana
é delimitada pelas retas , e . - A densidade em cada ponto
da região é dada por . - O que se pede: determinar a massa total da região
.
Passo 2
Conceito básico que vamos usar (aulas rápidas e diretas): a massa
de uma lamina plana com densidade
distribuída na região
é dada pela integral dupla
Aqui
é a função densidade (no nosso caso
) e
representa um elemento de área (pense em um pequeníssimo retângulo de lados
e
; então
ou
conforme a ordem). A ideia é somar a densidade vezes a área em toda a região.
Passo 3
Descrever a região
com cuidado (isso é crucial para montar a integral).
- Intersecções das retas (calculei resolvendo as equações das retas duas a duas):
- Entre
e : tomar dá . Ponto . - Entre
e : tomar dá . Ponto . - Entre
e : tomar dá . Ponto .
- Entre
- Logo, os vértices do triângulo são
, e . - Para escrever limites de integração num único par de integrais é conveniente escolher integração na ordem
: para cada valor fixo de entre e , varia entre a reta de menor (que é , obtida de ) e a reta de maior (que é , obtida de ). Portanto
(Isto é mais simples que dividir em duas fatias verticais; por isso escolhi esta ordem.)
Passo 4
Montar a integral dupla para a massa usando o que acabamos de decidir:
Explico cada pedaço:
- O integrando
é a densidade. - A integração interna
soma ao longo de para um fixo. - A integração externa
soma esses resultados para todos os entre e .
Passo 5
Calcular a integral interna passo a passo.
Calcule
Calcule
Integral de cada termo em
:
-
porque a antiderivada de é e multiplicando por volta a ser . -
porque é tratado como constante ao integrar em .
Assim,
Avaliar nas bordas:
- Em
: - Em
:
Agora a diferença:
Colocando em denominador comum
para subtrair:
logo
Portanto
Passo 6
Agora integrar em
para obter
:
A antiderivada de
é
, então
Simplificando dividindo numerador e denominador por
:
Passo 7
Interpretação curta e encorajamento: a massa da lâmina com densidade
sobre o triângulo descrito é exatamente a integral que calculamos; chegar à fração
mostra que tudo se simplificou bem. Tá indo bem — a técnica principal é sempre descrever bem a região e escolher a ordem de integração que evita dividir em várias peças.