Seja E o paralelepípedo [1,2] \times[0,4] \times[0,3].
Considere a função \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=6 \mathrm{xy}+3 \mathrm{xz}+11 \mathrm{yz}.
Determine
\iiint_{E} f(x, y, z) d V

Passo 1

O enunciado dá o paralelepípedo
E = [1,2]\times[0,4]\times[0,3]
e a função
f(x,y,z)=6xy+3xz+11yz.
A tarefa é calcular o integral triplo
\iiint_{E} f(x,y,z)\,dV.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As variáveis têm os seguintes intervalos: \;x\in[1,2],\;y\in[0,4],\;z\in[0,3].
  • A função a integrar é a soma de três termos, cada um dependendo de apenas dois dos três variáveis (por exemplo, 6xy depende de x e y apenas).

Passo 2

Ideia e justificativa (pequena aula rápida): quando a região de integração é um paralelepípedo (produto de intervalos), vale o Teorema de Fubini e podemos trocar integrais iteradas e separar integrais de produtos de funções univariadas. Duas propriedades fundamentais que usarei:
  1. Linearidade da integral:
\iiint_E (g+h)\,dV=\iiint_E g\,dV+\iiint_E h\,dV, \qquad \iiint_E c\cdot g\,dV = c\cdot \iiint_E g\,dV,
onde c é constante.
  1. Separabilidade para produtos de funções univariadas: se g(x,y,z)=G(x)H(y)K(z) e E=[a,b]\times[c,d]\times[p,q], então
\iiint_E G(x)H(y)K(z)\,dV = \left(\int_a^b G(x)\,dx\right) \left(\int_c^d H(y)\,dy\right) \left(\int_p^q K(z)\,dz\right).
No nosso caso, cada termo da função é produto de funções de variáveis separadas (por exemplo, 6xy = 6\cdot x\cdot y\cdot 1), então podemos aplicar essas propriedades para transformar o integral triplo em produtos de integrais simples.

Passo 3

Aplicando linearidade, escrevo o integral como soma de três integrais:
\iiint_E f\,dV = \iiint_E 6xy\,dV + \iiint_E 3xz\,dV + \iiint_E 11yz\,dV.
Vou calcular cada um separadamente.

Passo 4

Cálculo do primeiro termo \iiint_E 6xy\,dV.
Separei em produtos de integrais univariadas usando que 6xy = 6\cdot x\cdot y\cdot 1:
\iiint_E 6xy\,dV =6\left(\int_{1}^{2} x\,dx\right)\left(\int_{0}^{4} y\,dy\right)\left(\int_{0}^{3} 1\,dz\right).
Agora calculo cada integral simples (antiderivadas):
\int_{1}^{2} x\,dx = \left[\tfrac{x^2}{2}\right]_{1}^{2} = \tfrac{4}{2}-\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}.
\int_{0}^{4} y\,dy = \left[\tfrac{y^2}{2}\right]_{0}^{4} = \tfrac{16}{2}=8.
\int_{0}^{3} 1\,dz = [z]_{0}^{3}=3.
Multiplicando:
\iiint_E 6xy\,dV = 6\cdot \tfrac{3}{2}\cdot 8\cdot 3.
Faço as contas passo a passo: \tfrac{3}{2}\cdot 8 = 12, 12\cdot 3 = 36, 36\cdot 6 = 216. Logo
\iiint_E 6xy\,dV = 216.

Passo 5

Cálculo do segundo termo \iiint_E 3xz\,dV.
Separei:
\iiint_E 3xz\,dV =3\left(\int_{1}^{2} x\,dx\right)\left(\int_{0}^{4} 1\,dy\right)\left(\int_{0}^{3} z\,dz\right).
Já sabemos \int_{1}^{2} x\,dx = \tfrac{3}{2}. As outras:
\int_{0}^{4} 1\,dy = 4, \qquad \int_{0}^{3} z\,dz = \left[\tfrac{z^2}{2}\right]_{0}^{3} = \tfrac{9}{2}.
Multiplicando:
\iiint_E 3xz\,dV = 3\cdot \tfrac{3}{2}\cdot 4\cdot \tfrac{9}{2}.
Calculo: \tfrac{3}{2}\cdot 4 = 6, 6\cdot \tfrac{9}{2} = 27, 27\cdot 3 = 81. Logo
\iiint_E 3xz\,dV = 81.

Passo 6

Cálculo do terceiro termo \iiint_E 11yz\,dV.
Separei:
\iiint_E 11yz\,dV =11\left(\int_{1}^{2} 1\,dx\right)\left(\int_{0}^{4} y\,dy\right)\left(\int_{0}^{3} z\,dz\right).
Calculos simples:
\int_{1}^{2} 1\,dx = 2-1 = 1, \qquad \int_{0}^{4} y\,dy = 8, \qquad \int_{0}^{3} z\,dz = \tfrac{9}{2}.
Multiplicando:
\iiint_E 11yz\,dV = 11\cdot 1\cdot 8\cdot \tfrac{9}{2}.
Faço as contas: 8\cdot \tfrac{9}{2}=36, 36\cdot 11 = 396. Logo
\iiint_E 11yz\,dV = 396.

Passo 7

Somando os três resultados (pela linearidade):
\iiint_E f\,dV = 216 + 81 + 396.
Calculo final: 216+81=297, 297+396=693. Portanto o integral triplo vale 693.

Resposta

693

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