Seja E o paralelepípedo
.
Considere a função
.
Determine
Passo 1
O enunciado dá o paralelepípedo
e a função
A tarefa é calcular o integral triplo
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As variáveis têm os seguintes intervalos:
. - A função a integrar é a soma de três termos, cada um dependendo de apenas dois dos três variáveis (por exemplo,
depende de e apenas).
Passo 2
Ideia e justificativa (pequena aula rápida): quando a região de integração é um paralelepípedo (produto de intervalos), vale o Teorema de Fubini e podemos trocar integrais iteradas e separar integrais de produtos de funções univariadas. Duas propriedades fundamentais que usarei:
- Linearidade da integral:
onde
é constante.
- Separabilidade para produtos de funções univariadas: se
e , então
No nosso caso, cada termo da função é produto de funções de variáveis separadas (por exemplo,
), então podemos aplicar essas propriedades para transformar o integral triplo em produtos de integrais simples.
Passo 3
Aplicando linearidade, escrevo o integral como soma de três integrais:
Vou calcular cada um separadamente.
Passo 4
Cálculo do primeiro termo
.
Separei em produtos de integrais univariadas usando que
:
Agora calculo cada integral simples (antiderivadas):
Multiplicando:
Faço as contas passo a passo:
,
,
. Logo
Passo 5
Cálculo do segundo termo
.
Separei:
Já sabemos
. As outras:
Multiplicando:
Calculo:
,
,
. Logo
Passo 6
Cálculo do terceiro termo
.
Separei:
Calculos simples:
Multiplicando:
Faço as contas:
,
. Logo
Passo 7
Somando os três resultados (pela linearidade):
Calculo final:
,
. Portanto o integral triplo vale
.