Considere a região do plano cartesiano determinada pelas curvas e .
[a.] Determine a área de .
[b.] Determine o volume do sólido obtido pela rotação de pelo eixo .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma região no plano cartesiano limitada pelas curvas , (que é o eixo ) e . Precisamos resolver duas partes:
a) Determinar a área dessa região .
b) Calcular o volume do sólido que resulta ao girar em torno do eixo .
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo, especificamente integrais definidas para encontrar áreas e volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região . As curvas que delimitam são:
: uma linha horizontal.
: o eixo .
: uma parábola que abre para a direita.
Vamos esboçar essas curvas para visualizar a região.
Passo 3
Encontrar os pontos de interseção das curvas para saber os limites de integração.
Queremos saber onde intercepta .
Igualando as duas equações:
Elevando ambos os lados ao quadrado para resolver para :
Então, o ponto de interseção é .
Passo 4
Agora, para encontrar a área da região , vamos integrar a diferença entre as funções que limitam a região.
A área é dada por:
Aqui, é a função superior e é a função inferior no intervalo de a .