Considere a região R do plano cartesiano determinada pelas curvas y=2, x=0 e y=raizx.
[a.] Determine a área de R.
[b.] Determine o volume do sólido obtido pela rotação de R pelo eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma região R no plano cartesiano limitada pelas curvas y = 2 , x = 0 (que é o eixo y ) e y = raizx . Precisamos resolver duas partes:
a) Determinar a área dessa região R .
b) Calcular o volume do sólido que resulta ao girar R em torno do eixo x .
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo, especificamente integrais definidas para encontrar áreas e volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região R . As curvas que delimitam R são:
  • y = 2 : uma linha horizontal.
  • x = 0 : o eixo y .
  • y = raizx : uma parábola que abre para a direita.
Vamos esboçar essas curvas para visualizar a região.

Passo 3

Encontrar os pontos de interseção das curvas para saber os limites de integração.
Queremos saber onde y = 2 intercepta y = raizx .
Igualando as duas equações:
2 = raizx
Elevando ambos os lados ao quadrado para resolver para x :
4 = x
Então, o ponto de interseção é (4, 2) .

Passo 4

Agora, para encontrar a área da região R , vamos integrar a diferença entre as funções que limitam a região.
A área A é dada por:
A = integral0^4 (2 - raizx) , dx
Aqui, 2 é a função superior e raizx é a função inferior no intervalo de x = 0 a x = 4 .

Passo 5

Vamos calcular a integral:
A = integral0^4 2 , dx - integral0^4 raizx , dx
Calculando cada parte separadamente:
integral0^4 2 , dx = 2x |0^4 = 2(4) - 2(0) = 8
integral0^4 raizx , dx = integral0^4 x^1/2 , dx = 23x^3/2 |0^4 = 23(8) - 23(0) = 163

Passo 6

Subtraindo as duas integrais para obter a área:
A = 8 - 163 = 243 - 163 = 83
Então, a área da região R é 83 unidades quadradas.

Passo 7

Agora, vamos para a parte b), que pede o volume do sólido formado ao girar R em torno do eixo x .
Para isso, vamos usar o método dos discos, que é apropriado para esse tipo de rotação.
A fórmula para o volume V é:
V = pi integrala^b [f(x)]^2 - [g(x)]^2 , dx
Onde f(x) é a função superior e g(x) é a função inferior. No nosso caso, f(x) = 2 e g(x) = raizx .

Passo 8

Aplicando as funções na fórmula:
V = pi integral0^4 (2)^2 - (raizx)^2 , dx = pi integral0^4 4 - x , dx

Passo 9

Calculando a integral:
V = pi [ integral0^4 4 , dx - integral0^4 x , dx ]
integral0^4 4 , dx = 4x |0^4 = 16
integral0^4 x , dx = 12x^2 |0^4 = 12(16) - 12(0) = 8

Passo 10

Subtraindo as integrais:
V = pi (16 - 8) = 8pi
Então, o volume do sólido formado é 8pi unidades cúbicas.

Resposta

a) A área da região R é 83 unidades quadradas.
b) O volume do sólido obtido pela rotação de R em torno do eixo x é 8pi unidades cúbicas.

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