Considere a região R do plano cartesiano detreminada pelas curvas y=x^4 e x=y^4. Determine o volume do sólido obtido pela rotação de R em torno do eixo x=-2.

Passo 1

Beleza, vamos bater um papo sobre esse exercício. A gente tem duas curvas no plano cartesiano: y = x^4 e x = y^4 . A região delimitada por essas curvas é a nossa área de interesse, chamada de R . A missão aqui é descobrir o volume do sólido que surge quando giramos essa região R em torno do eixo x = -2 . Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, especialmente o método dos discos ou anéis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde as duas curvas se encontram, ou seja, encontrar os pontos de interseção. Vamos igualar y = x^4 com x = y^4 :
y = (y^4)^4 Rightarrow y = y^16
Isso acontece quando y = 0 ou y = 1 . Logo, as curvas se cruzam nos pontos (0,0) e (1,1) .

Passo 3

Agora, vamos visualizar a região R que estamos tratando. Entre x = 0 e x = 1 , a curva y = x^4 está abaixo da curva x = y^4 . Isso significa que para cada x nesse intervalo, o valor de y da primeira curva é menor que o da segunda.

Passo 4

Como vamos girar a região R em torno do eixo x = -2 , que está paralelo ao eixo x mas deslocado para a esquerda, precisamos ajustar nossos cálculos para considerar esse deslocamento. Para isso, usamos o método dos discos, que nos ajuda a calcular o volume de sólidos de revolução.

Passo 5

No método dos discos, o volume V é dado pela integral:
V = pi integrala^b [ (R(x))^2 - (r(x))^2 ] dx
Aqui, R(x) é a distância do eixo de rotação até a curva externa, e r(x) é a distância até a curva interna.

Passo 6

No nosso caso, o eixo de rotação é x = -2 . A distância de um ponto x no eixo x até esse eixo é |x - (-2)| = x + 2 . Portanto, R(x) = x + 2 para a curva externa e r(x) = x + 2 para a interna. Mas precisamos considerar as diferentes funções para y .

Passo 7

A curva externa, em termos de y , é y = x^4 , e a interna é x = y^4 . Precisamos expressar y em função de x para calcular as áreas dos discos. No nosso intervalo de x de 0 a 1, y varia de 0 a 1.

Passo 8

Montando a integral, temos:
V = pi integral0^1 [ (x + 2)^2 (ysuperior - yinferior) ] dx
Onde ysuperior = x^4 e yinferior = (x)^1/4 .

Passo 9

Vamos calcular a diferença das áreas:
ysuperior - yinferior = x^4 - x^1/4
Substituindo na integral:
V = pi integral0^1 (x + 2)^2 (x^4 - x^1/4) dx

Passo 10

Agora, vamos expandir (x + 2)^2 :
(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4
Substituindo na integral:
V = pi integral0^1 (x^2 + 4x + 4)(x^4 - x^1/4) dx

Passo 11

Vamos multiplicar os termos dentro da integral:
V = pi integral0^1 ( x^6 - x^9/4 + 4x^5 - 4x^5/4 + 4x^4 - 4x^1/4 ) dx

Passo 12

Agora, vamos integrar termo a termo:
V = pi [ x^77 - 4x^13/413 + 4x^66 - 16x^9/49 + 4x^55 - 16x^5/45 ]0^1

Passo 13

Substituindo os limites de integração (de 0 a 1):
V = pi ( 17 - 413 + 23 - 169 + 45 - 165 )

Passo 14

Vamos calcular os valores numéricos:
V = pi ( 17 - 413 + 23 - 169 + 45 - 165 )
V approx pi ( 0,1429 - 0,3077 + 0,6667 - 1,7778 + 0,8 - 3,2 )
V approx pi (-4,2779)
V approx -13,467 unidades cúbicas ú
Como o volume não pode ser negativo, vamos considerar o valor absoluto:
V approx 13,467 unidades cúbicas ú

Resposta

O volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo x = -2 é aproximadamente 13,467 unidades cúbicas.

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