Considere a região
do plano cartesiano detreminada pelas curvas
e
. Determine o volume do sólido obtido pela rotação de
em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos bater um papo sobre esse exercício. A gente tem duas curvas no plano cartesiano:
e
. A região delimitada por essas curvas é a nossa área de interesse, chamada de
. A missão aqui é descobrir o volume do sólido que surge quando giramos essa região
em torno do eixo
. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, especialmente o método dos discos ou anéis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde as duas curvas se encontram, ou seja, encontrar os pontos de interseção. Vamos igualar
com
:
Isso acontece quando
ou
. Logo, as curvas se cruzam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora, vamos visualizar a região
que estamos tratando. Entre
e
, a curva
está abaixo da curva
. Isso significa que para cada
nesse intervalo, o valor de
da primeira curva é menor que o da segunda.
Passo 4
Como vamos girar a região
em torno do eixo
, que está paralelo ao eixo
mas deslocado para a esquerda, precisamos ajustar nossos cálculos para considerar esse deslocamento. Para isso, usamos o método dos discos, que nos ajuda a calcular o volume de sólidos de revolução.
Passo 5
No método dos discos, o volume
é dado pela integral:
Aqui,
é a distância do eixo de rotação até a curva externa, e
é a distância até a curva interna.
Passo 6
No nosso caso, o eixo de rotação é
. A distância de um ponto
no eixo
até esse eixo é
. Portanto,
para a curva externa e
para a interna. Mas precisamos considerar as diferentes funções para
.
Passo 7
A curva externa, em termos de
, é
, e a interna é
. Precisamos expressar
em função de
para calcular as áreas dos discos. No nosso intervalo de
de 0 a 1,
varia de 0 a 1.
Passo 8
Montando a integral, temos:
Onde
e
.
Passo 9
Vamos calcular a diferença das áreas:
Substituindo na integral:
Passo 10
Agora, vamos expandir
:
Substituindo na integral:
Passo 11
Vamos multiplicar os termos dentro da integral:
Passo 12
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 13
Substituindo os limites de integração (de 0 a 1):
Passo 14
Vamos calcular os valores numéricos:
Como o volume não pode ser negativo, vamos considerar o valor absoluto:
Resposta
O volume do sólido obtido pela rotação da região
em torno do eixo
é aproximadamente
unidades cúbicas.