Considere a região
do plano limitada pelo gráfico da função
, as retas
,
e
. Calcule o volume do sólido girando a região
em torno do eixo
.
(A)
(B)
©
(D)
(D)
(E)
(A)
(B)
(D)
(E)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que é gerado quando a região $ R $, limitada pela função $ y = \sqrt{\frac{x}{x^{2}+1}} $, pelas retas $ x = 0 $, $ x = 2 $ e pela reta $ y = 0 $, é girada em torno do eixo $ x $. Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método dos discos. Quando a gente gira uma região em torno do eixo $ x $, podemos imaginar cortes fininhos do sólido na direção perpendicular ao eixo $ x $. Cada corte forma um disco, e o volume do sólido é a soma de todos esses discos.
A fórmula para o volume usando o método dos discos é:
Aqui, $ f(x) $ é a função que define a borda da região, e $ a $ e $ b $ são os limites de integração (no nosso caso, $ x = 0 $ e $ x = 2 $).
Passo 3
Agora, vamos identificar nossa função $ f(x) $:
Para aplicar a fórmula, precisamos elevar essa função ao quadrado:
Passo 4
Substituindo na fórmula do volume, temos:
Agora, precisamos resolver essa integral para encontrar o volume.
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Para isso, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar $ u = x^{2} + 1 $. Então, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
Isso nos permite reescrever a integral em termos de $ u $:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Voltando ao cálculo do volume:
Simplificando os valores:
Sabemos que $ \ln(1) = 0 $, então:
Resposta
A resposta correta é a opção (E)
.