Considere a região R do plano limitada pelo gráfico da função y=raizxx^2+1, as retas x=0, x=2 e y=0. Calcule o volume do sólido girando a região R em torno do eixo x.
(A) pi ln 5
(B) pi ln 55 © pi ln 5-4 (D)
(D) 3 pi ln 5
(E) pi ln 52

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que é gerado quando a região $ R $, limitada pela função $ y = \sqrt{\frac{x}{x^{2}+1}} $, pelas retas $ x = 0 $, $ x = 2 $ e pela reta $ y = 0 $, é girada em torno do eixo $ x $. Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método dos discos. Quando a gente gira uma região em torno do eixo $ x $, podemos imaginar cortes fininhos do sólido na direção perpendicular ao eixo $ x $. Cada corte forma um disco, e o volume do sólido é a soma de todos esses discos.
A fórmula para o volume usando o método dos discos é:
x
Aqui, $ f(x) $ é a função que define a borda da região, e $ a $ e $ b $ são os limites de integração (no nosso caso, $ x = 0 $ e $ x = 2 $).

Passo 3

Agora, vamos identificar nossa função $ f(x) $:
f(x)
Para aplicar a fórmula, precisamos elevar essa função ao quadrado:
f(x) = raizxx^2+1

Passo 4

Substituindo na fórmula do volume, temos:
V = pi integral0^2 xx^2+1 , dx
Agora, precisamos resolver essa integral para encontrar o volume.

Passo 5

Vamos resolver a integral:
integral xx^2+1 , dx
Para isso, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar $ u = x^{2} + 1 $. Então, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
u = x^2 + 1
Isso nos permite reescrever a integral em termos de $ u $:
u
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Voltando ao cálculo do volume:
V = pi [ 12 ln(x^2+1) ]0^2 = pi2 [ ln(2^2+1) - ln(0^2+1) ]
Simplificando os valores:
V = pi2 [ ln(5) - ln(1) ]
Sabemos que $ \ln(1) = 0 $, então:
ln(1) = 0

Resposta

A resposta correta é a opção (E) pi ln 52.

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