Considere a função f(x)=4|x|+2. Encontre o domínio e a imagem de f(x). Em seguida faça um esboço do gráfico de f(x).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a função $ f(x) = 4|x| + 2 $ e precisa descobrir duas coisas: o domínio e a imagem dessa função. Depois, vamos fazer um esboço do gráfico dela. Para isso, vamos usar conceitos básicos de funções, especialmente envolvendo valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de $ x $ que a função pode receber sem problemas, ou seja, para os quais ela está definida.
No caso da função $ f(x) = 4|x| + 2 $, a expressão dentro do valor absoluto, $ x $, pode ser qualquer número real. O valor absoluto de um número é sempre um número não negativo, e multiplicando por 4 e somando 2, a gente não enfrenta nenhuma restrição. Portanto, o domínio é:
x í
Isso significa que qualquer número real pode ser colocado no lugar do $ x $.

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores possíveis que $ f(x) $ pode assumir.
Sabemos que $ |x| $ é sempre maior ou igual a zero. Então:
f(x)
Multiplicando por 4:
|x|
E adicionando 2:
|x| >= 0
Isso quer dizer que o menor valor que $ f(x) $ pode ter é 2, e ele cresce a partir daí conforme $ |x| $ aumenta. Assim, a imagem é:
4|x| >= 0

Passo 4

Vamos agora esboçar o gráfico da função $ f(x) = 4|x| + 2 $.
Primeiro, reconhecemos que é uma função afim com valor absoluto, o que típicamente apresenta um formato de “V”. O valor 4 indica a inclinação das linhas que formam o “V”, e o +2 indica o deslocamento vertical.
Para desenhar:
  1. Plotamos o ponto mínimo da função, que ocorre quando $ |x| = 0 $:
    f(x) = 4|x| + 2
    Então, temos o ponto (0, 2).
  2. Para $ x > 0 $:
    |x| = 0
    Essa é uma linha reta com inclinação 4.
  3. Para $ x < 0 $:
    f(0) = 4(0) + 2 = 2
    Essa é uma linha reta com inclinação -4.
Desenhando essas duas linhas a partir do ponto (0, 2), formando um “V” simétrico em relação ao eixo y.

Resposta

  • Domínio: $ \mathbb{R} $
  • Imagem: $ { y \in \mathbb{R} \mid y \geq 2 } $
  • Esboço do Gráfico: Um “V” com vértice no ponto (0, 2), abrindo para cima, inclinado com coeficiente 4 nas partes positivas e negativas de $ x $.

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