Considere a função h(x)=(x^50-20 x) f(x).
Sabendo que f é derivável, f(1)=2 e f^prime(1)=-2
Podemos afirmar que o valor de h^prime(1) é igual a:
(A) 50
(B) Nada podemos afirmar por não conhecermos a expressão algébrica de f
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(D) 0
(E) 98

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. A gente tem uma função $ h(x) = \left(x^{50} - 20x\right) f(x) $. Sabemos que $ f $ é derivável, $ f(1) = 2 $ e a derivada de $ f $ em 1, $ f’(1) = -2 $. Queremos descobrir o valor de $ h’(1) $.
Aqui, vamos trabalhar com cálculo diferencial, especificamente usando a regra do produto para derivadas, já que $ h(x) $ é o produto de duas funções: $ x^{50} - 20x $ e $ f(x) $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a regra do produto para derivadas. Se temos duas funções $ u(x) $ e $ v(x) $, a derivada do produto delas é:
u(x)
No nosso caso, $ u(x) = x^{50} - 20x $ e $ v(x) = f(x) $. Então, a derivada de $ h(x) $ será:
v(x)

Passo 3

Vamos calcular $ u’(x) $. A função $ u(x) = x^{50} - 20x $ tem duas partes:
  1. A derivada de $ x^{50} $ é $ 50x^{49} $.
  2. A derivada de $ -20x $ é $ -20 $.
Então,
u'(x)

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores que já conhecemos na expressão de $ h’(x) $. Queremos encontrar $ h’(1) $, então vamos avaliar tudo em $ x = 1 $.
Primeiro, calculemos $ u’(1) $:
h'(x)

Passo 5

Também precisamos de $ u(1) $. Vamos calcular:
u(1)

Passo 6

Sabemos que $ v(1) = f(1) = 2 $ e $ v’(1) = f’(1) = -2 $. Agora, substituindo tudo na expressão de $ h’(x) $:
v(1) = f(1) = 2

Passo 7

Vamos fazer as contas:
30 cdot 2 = 60
(-19) cdot (-2) = 38
Somando os dois resultados:
60 + 38 = 98

Resposta

O valor de $ h’(1) $ é igual a 98.

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