Considere a região no plano xy delimitada por y=4 x-x^2 e y=x^2. Determine a abscissa do centroide da região.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma região no plano xy delimitada pelas curvas $ y = 4x - x^{2} $ e $ y = x^{2} $. O objetivo é encontrar a abscissa (ou seja, a coordenada x) do centróide dessa região. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, como integração definida e cálculo de áreas, além de entender como determinar o centróide de uma área plana.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas curvas se encontram, ou seja, encontrar os pontos de interseção. Isso nos dará os limites de integração para os nossos cálculos. Para isso, igualamos as duas equações:
4x - x^2 = x^2
Resolvendo essa igualdade:
4x - x^2 - x^2 = 0 4x - 2x^2 = 0 x(4 - 2x) = 0
Isso nos dá duas soluções: $ x = 0 $ e $ x = 2 $. Então, as curvas se intersectam nos pontos $ x = 0 $ e $ x = 2 $.

Passo 3

Agora, vamos calcular a área da região limitada por essas curvas entre $ x = 0 $ e $ x = 2 $. A área $ A $ é dada pela integral da diferença entre a função de cima e a função de baixo:
x = 0
Vamos resolver essa integral:
x = 2
Calculando os valores:
A
Então, a área é $ \frac{8}{3} $.

Passo 4

Agora, vamos calcular a coordenada x do centróide ($ \bar{x} $). A fórmula para $ \bar{x} $ é:
barx
Onde:
  • $ A $ é a área que já calculamos ($ \frac{8}{3} $)
  • $ f(x) $ é a função de cima ($ 4x - x^{2} $)
  • $ g(x) $ é a função de baixo ($ x^{2} $)
  • $ a $ e $ b $ são os limites de integração (0 e 2)
Vamos montar a integral:
barx

Passo 5

Vamos resolver a integral:
integral0^2 (4x^2 - 2x^3) dx = integral0^2 4x^2 dx - integral0^2 2x^3 dx
Calculando cada parte:
integral 4x^2 dx = 43x^3 integral 2x^3 dx = 24x^4 = 12x^4
Agora, avaliando de 0 a 2:
[ 43(2)^3 ] - [ 12(2)^4 ] = 323 - 162 = 323 - 8 = 323 - 243 = 83
Então, a integral resulta em $ \frac{8}{3} $.
Agora, voltando à fórmula do centróide:
83

Resposta

A abscissa do centróide da região é $ \bar{x} = 1 $.

Exercícios relacionados