Considere a região no plano xy delimitada por y=4 x-x^2 e y=x^2. Determine a ordenada do centroide da região.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a ordenada do centroide de uma região delimitada pelas curvas $ y = 4x - x^{2} $ e $ y = x^{2} $. Isso está relacionado ao estudo de geometria analítica, especificamente na determinação de centroides de áreas planas. Para resolver, vamos precisar calcular a área da região e as integrais necessárias para encontrar a coordenada $ \bar{y} $ do centroide.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde as duas curvas se interceptam para determinar os limites de integração. Igualamos $ 4x - x^{2} = x^{2} $:
4x - x^2 = x^2
Assim, as interseções ocorrem em $ x = 0 $ e $ x = 2 $.

Passo 3

Agora, vamos visualizar as curvas para entender qual delas está por cima no intervalo de integração $ x \in [0, 2] $.
Para $ x = 1 $:
x in [0, 2]
Portanto, $ y = 4x - x^{2} $ está acima de $ y = x^{2} $ nesse intervalo.

Passo 4

Vamos calcular a área $ A $ da região entre as curvas utilizando a fórmula:
A
Aqui, $ f(x) = 4x - x^{2} $ e $ g(x) = x^{2} $, com $ a = 0 $ e $ b = 2 $.
Substituindo:
A = integrala^b [f(x) - g(x)] , dx

Passo 5

Calculando a integral para a área:
A = [ 2x^2 - 2x^33 ]0^2 A = ( 2(2)^2 - 2(2)^33 ) - ( 0 - 0 ) A = ( 8 - 163 ) A = 243 - 163 A = 83

Passo 6

Agora, vamos calcular a ordenada do centroide $ \bar{y} $ usando a fórmula:
bary
Simplificando:
bary = 1A integrala^b f(x) + g(x)2 [f(x) - g(x)] , dx

Passo 7

Calculando a integral para $ \bar{y} $:
bary

Passo 8

Agora, substituímos na fórmula da ordenada do centroide:
bary = 183 cdot 163 = 38 cdot 163 = 2

Resposta

A ordenada do centroide da região é $ \boxed{2} $.

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