Considere a região no plano xy delimitada por
e
. Determine a ordenada do centroide da região.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a ordenada do centroide de uma região delimitada pelas curvas $ y = 4x - x^{2} $ e $ y = x^{2} $. Isso está relacionado ao estudo de geometria analítica, especificamente na determinação de centroides de áreas planas. Para resolver, vamos precisar calcular a área da região e as integrais necessárias para encontrar a coordenada $ \bar{y} $ do centroide.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde as duas curvas se interceptam para determinar os limites de integração. Igualamos $ 4x - x^{2} = x^{2} $:
Assim, as interseções ocorrem em $ x = 0 $ e $ x = 2 $.
Passo 3
Agora, vamos visualizar as curvas para entender qual delas está por cima no intervalo de integração $ x \in [0, 2] $.
Para $ x = 1 $:
Portanto, $ y = 4x - x^{2} $ está acima de $ y = x^{2} $ nesse intervalo.
Passo 4
Vamos calcular a área $ A $ da região entre as curvas utilizando a fórmula:
Aqui, $ f(x) = 4x - x^{2} $ e $ g(x) = x^{2} $, com $ a = 0 $ e $ b = 2 $.
Substituindo:
Passo 5
Calculando a integral para a área:
Passo 6
Agora, vamos calcular a ordenada do centroide $ \bar{y} $ usando a fórmula:
Simplificando:
Passo 7
Calculando a integral para $ \bar{y} $:
Passo 8
Agora, substituímos na fórmula da ordenada do centroide:
Resposta
A ordenada do centroide da região é $ \boxed{2} $.