Determine a área comum aos círculos
, de raio
e centro na origem, e
, de raio
e centro
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois círculos, o $ C_1 $ que está no ponto de origem e o $ C_2 $ que está no ponto $ (a, 0) $. Ambos têm raio $ a $. O que a gente precisa descobrir é a área que esses dois círculos têm em comum. Para isso, vamos usar um pouco de geometria e trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a posição dos círculos. O centro de $ C_1 $ está na origem, ou seja, no ponto $ (0,0) $. O centro de $ C_2 $ está no ponto $ (a,0) $. Isso significa que a distância entre os centros dos dois círculos é exatamente $ a $, que é igual ao raio de cada círculo.
Passo 3
Quando dois círculos têm raio igual e a distância entre os centros é também igual ao raio, eles se intersectam formando uma “lente” comum. Para calcular a área dessa interseção, podemos usar a fórmula da área da lente formada por dois círculos de mesmo raio.
Passo 4
A fórmula para a área comum $ A $ de dois círculos de raio $ a $ separados por uma distância $ d $ é:
Passo 5
No nosso caso, a distância $ d $ entre os centros dos círculos é igual a $ a $. Vamos substituir na fórmula:
Simplificando:
Passo 6
Sabemos que $ \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3} $ e $ \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} $. Substituindo esses valores:
Resposta
A área comum aos dois círculos é: