Determine a área comum aos círculos C1, de raio a e centro na origem, e C2, de raio a e centro (a, 0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois círculos, o $ C_1 $ que está no ponto de origem e o $ C_2 $ que está no ponto $ (a, 0) $. Ambos têm raio $ a $. O que a gente precisa descobrir é a área que esses dois círculos têm em comum. Para isso, vamos usar um pouco de geometria e trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a posição dos círculos. O centro de $ C_1 $ está na origem, ou seja, no ponto $ (0,0) $. O centro de $ C_2 $ está no ponto $ (a,0) $. Isso significa que a distância entre os centros dos dois círculos é exatamente $ a $, que é igual ao raio de cada círculo.

Passo 3

Quando dois círculos têm raio igual e a distância entre os centros é também igual ao raio, eles se intersectam formando uma “lente” comum. Para calcular a área dessa interseção, podemos usar a fórmula da área da lente formada por dois círculos de mesmo raio.

Passo 4

A fórmula para a área comum $ A $ de dois círculos de raio $ a $ separados por uma distância $ d $ é:
A

Passo 5

No nosso caso, a distância $ d $ entre os centros dos círculos é igual a $ a $. Vamos substituir na fórmula:
d
Simplificando:
a

Passo 6

Sabemos que $ \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3} $ e $ \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} $. Substituindo esses valores:
cos^-1(12) = pi3
raiz3a^2 = araiz3

Resposta

A área comum aos dois círculos é:
A = 2pi a^23 - a^2 raiz32

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