Nos exercícios seguintes encontre a área da região delimitada pelas curvas dadas e encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados:
, em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área da região delimitada por
,
no intervalo
, e também o volume do sólido obtido ao girar essa região em torno do eixo
. Vamos usar integrais para área sob a curva e método dos discos para volume de revolução.
Passo 2
Para encontrar a área, aplicamos a fórmula
que diz que a área entre a curva e o eixo
é a integral da função.
Passo 3
Calculando a integral, lembramos que a primitiva de
é
. Então:
Logo, a área vale 1.
Passo 4
Para o volume, usamos o método dos discos, onde cada disco de raio
tem área
e espessura
. Assim:
Passo 5
Para integrar
, aplicamos a identidade de redução:
Então a integral se torna
Passo 6
Avaliando nos limites, em
temos
e em
temos
. A diferença é
. Multiplicando por
,
Resposta
A área vale 1 e o volume do sólido de revolução vale
.