Nos exercícios seguintes encontre a área da região delimitada pelas curvas dadas e encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados:
y=sen(x), y=0, pi2 <= x <= pi, em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região delimitada por y=sin(x), y=0 no intervalo pi2 <= x <= pi, e também o volume do sólido obtido ao girar essa região em torno do eixo x. Vamos usar integrais para área sob a curva e método dos discos para volume de revolução.

Passo 2

Para encontrar a área, aplicamos a fórmula
A = integralpi/2^pi sin(x) , dx
que diz que a área entre a curva e o eixo x é a integral da função.

Passo 3

Calculando a integral, lembramos que a primitiva de sin(x) é -cos(x). Então:
A = l[-cos(x)r]pi/2^pi = l[-cos(pi)r] - l[-cos(tfracpi2)r] = (1) - (0) = 1
Logo, a área vale 1.

Passo 4

Para o volume, usamos o método dos discos, onde cada disco de raio sin(x) tem área pi(sin(x))^2 e espessura dx. Assim:
V = pi integralpi/2^pi l(sin(x)r)^2 , dx .

Passo 5

Para integrar sin^2(x), aplicamos a identidade de redução:
sin^2(x) = tfrac1 - cos(2x)2
Então a integral se torna
integralpi/2^pi sin^2(x) , dx = integralpi/2^pi 1 - cos(2x)2 , dx = l[x2 - sin(2x)4r]pi/2^pi

Passo 6

Avaliando nos limites, em x=pi temos tfracpi2-0 e em x=tfracpi2 temos tfracpi4-0. A diferença é tfracpi2-tfracpi4=tfracpi4. Multiplicando por pi,
V = pi cdot pi4 = pi^24

Resposta

A área vale 1 e o volume do sólido de revolução vale pi^24.

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