5 x^{2}+6 x=-3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação do 2º grau
5x^{2} + 6x = -3
ou seja, encontrar todos os valores de x que satisfazem essa igualdade. Para isso vamos usar a fórmula de Bhaskara, que é indicada sempre que temos uma equação na forma padrão
ax^{2} + bx + c = 0.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão, passando o termo -3 para o lado esquerdo:
5x^{2} + 6x + 3 = 0,
onde a = 5, b = 6 e c = 3.

Passo 3

Calculamos o discriminante \Delta = b^{2} - 4ac:
\Delta = 6^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 36 - 60 = -24.
Como \Delta<0, a equação terá raízes complexas conjugadas.

Passo 4

Aplicamos a fórmula de Bhaskara
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}.
Substituindo a=5, b=6 e \Delta=-24, temos
x = \frac{-6 \pm \sqrt{-24}}{2\cdot5}.

Passo 5

Simplificamos \sqrt{-24} = i\sqrt{24} = 2\,i\sqrt{6} e o denominador 2\cdot5=10:
x = \frac{-6 \pm 2\,i\sqrt{6}}{10} = \frac{-6}{10} \pm \frac{2\,i\sqrt{6}}{10} = -\frac{3}{5} \pm \frac{i\sqrt{6}}{5}.

Resposta

x = -\frac{3}{5} + \frac{i\sqrt{6}}{5} \quad\text{ou}\quad x = -\frac{3}{5} - \frac{i\sqrt{6}}{5}.

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