Considere a função
f(x, y)=x^{2}+y^{2}-4 x-6 y.
(b) Classifique cada ponto crítico como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{2}+y^{2}-4x-6y
e pede para encontrarmos e classificarmos seus pontos críticos (máximo local, mínimo local ou ponto de sela). Para isso, vamos usar o teste de derivadas parciais (gradiente) para achar candidatos e depois o teste de segunda derivada (Hessiano) para classificar.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x-4,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=2y-6.
Para ponto crítico, igualamos a zero:
2x-4=0\quad\Rightarrow\quad x=2,
2y-6=0\quad\Rightarrow\quad y=3.
Logo o único ponto crítico é (2,3).

Passo 3

Para classificar usamos a matriz Hessiana, que reúne as segundas derivadas:
H_f(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\\[6pt] \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0\\\\ 0 & 2 \end{pmatrix}.
Como H_f é constante, basta ver seus autovalores que são 2 e 2, ambos positivos.]

Passo 4

Quando todos os autovalores do Hessiano em um ponto crítico são positivos, o ponto é um mínimo local. Portanto, em (2,3) temos um mínimo local.

Resposta

O único ponto crítico é (2,3) e ele é um mínimo local.

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