Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow \pi / 2} \frac{1-\operatorname{sen} x}{1+\cos 2 x}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to\pi/2}\frac{1-\sin x}{1+\cos2x},
que é um limite de função trigonométrica. Vamos verificar se surge indeterminação e, em caso afirmativo, aplicar a Regra de l’Hôpital.

Passo 2

Avaliando numerador e denominador em x=\pi/2:
1-\sin(\pi/2)=0,
1+\cos(2\cdot\tfrac{\pi}{2})=1+\cos\pi=1-1=0,
logo temos forma 0/0 e a Regra de l’Hôpital se aplica.

Passo 3

Derivando numerador e denominador:
- Numerador: (1-\sin x)'=-\cos x.
- Denominador: (1+\cos2x)'=-2\sin2x.
Pela Regra de l’Hôpital,
\lim_{x\to\pi/2}\frac{1-\sin x}{1+\cos2x} =\lim_{x\to\pi/2}\frac{-\cos x}{-2\sin2x} =\lim_{x\to\pi/2}\frac{\cos x}{2\sin2x}.

Passo 4

No novo limite, substituindo x=\pi/2 \cos(\pi/2)=0 e \sin\pi=0, outra vez 0/0. Aplicamos l’Hôpital de novo:
- Derivada de \cos x é -\sin x.
- Derivada de 2\sin2x é 4\cos2x.
Portanto,
\lim_{x\to\pi/2}\frac{\cos x}{2\sin2x} =\lim_{x\to\pi/2}\frac{-\sin x}{4\cos2x}.

Passo 5

Agora substituímos x=\pi/2: -\sin(\pi/2)=-1 e \cos\pi=-1, então
\frac{-1}{4\cdot(-1)}=\frac{1}{4}.

Resposta

\tfrac{1}{4}

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