Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede calcular
que é um limite de função trigonométrica. Vamos verificar se surge indeterminação e, em caso afirmativo, aplicar a Regra de l’Hôpital.
Passo 2
Avaliando numerador e denominador em
:
logo temos forma
e a Regra de l’Hôpital se aplica.
Passo 3
Derivando numerador e denominador:
- Numerador: .
- Denominador: .
Pela Regra de l’Hôpital,
- Numerador:
- Denominador:
Pela Regra de l’Hôpital,
Passo 4
No novo limite, substituindo
dá
e
, outra vez
. Aplicamos l’Hôpital de novo:
- Derivada de é
.
- Derivada de é
.
Portanto,
- Derivada de
- Derivada de
Portanto,
Passo 5
Agora substituímos
:
e
, então