1. Considere a região R delimitada pelo gráfico da função f(x)=\frac{1}{x^{2}} para x \geq 1, o eixo x e a reta vertical x=1. Determine se a área da regiāo R é finita ou infinita. Se for finita, assinale o seu valor.
    A) A área é infinita (divergente).
    B) A área é finita e igual a 1 unidade de área (convergente).
    C) A área é finita e igual a 0,5 unidade de área (convergente).
    D) A área é finita e igual a 2 unidades de área (convergente).
    E) A área é finita e igual a \pi / 2 unidades de área (convergente).

Passo 1

O enunciado dá a região R limitada por três curvas: a função f(x)=\dfrac{1}{x^{2}} para x\ge 1, o eixo x (ou seja, y=0) e a reta vertical x=1. A pergunta é: a área de R é finita ou infinita? Se for finita, qual é o seu valor (escolher entre as alternativas A–E)?
Informações relevantes do enunciado:
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}.
  • O intervalo horizontal que descreve a região é de x=1 até x\to\infty (porque a região vai para a direita sem limite finito).
  • A área pedida corresponde à área sob a curva desde x=1 até x=\infty sobre o eixo x.

Passo 2

Como a região se estende até x=\infty, a área é dada por uma integral imprópria. Vou transformar a área em uma integral definida impropria: a área A é
A=\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx.
Explicando isso devagar: a integral definida \int_{1}^{\infty} significa, por definição, o limite
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}\frac{1}{x^{2}}\,dx.
Então para saber se a área é finita (convergente) ou infinita (divergente) devemos calcular essa integral como limite.

Passo 3

Vamos calcular a primitiva (integração indefinida) de \dfrac{1}{x^{2}}. Reescrevendo a função como potência:
\frac{1}{x^{2}} = x^{-2}.
A regra de potência para integrais diz que, para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=-2, logo
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -x^{-1} + C = -\frac{1}{x} + C.
Portanto uma primitiva de \dfrac{1}{x^{2}} é -\dfrac{1}{x}.

Passo 4

Agora aplico a definição da integral imprópria:
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}\frac{1}{x^{2}}\,dx = \lim_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_{x=1}^{x=b}.
Avalio a primitiva nos extremos:
\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{b} = \left(-\frac{1}{b}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) = -\frac{1}{b} + 1.
Agora tomo o limite quando b\to\infty:
\lim_{b\to\infty}\left(-\frac{1}{b} + 1\right) = 0 + 1 = 1.
Portanto a integral converge e seu valor é 1.

Passo 5

Interpretação e intuição: apesar de a região se estender infinitamente para a direita, a função \dfrac{1}{x^{2}} decai rápido o suficiente (proporcional a 1/x^{2}) para que as áreas das “caudas” somadas fiquem small e resultem em área finita. Um teste geral útil é o teste-p: para \int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{x^{p}}dx, a integral converge se e somente se p>1. Aqui p=2>1, então converge — e calculamos que o valor é 1. Para comparação rápida: se p=1 (ou seja \int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{x}\,dx) a área diverge.

Passo 6

Conclusão final: a área da região R é finita e vale 1 unidade de área. Entre as alternativas fornecidas, a correta é a que afirma área finita igual a 1.

Resposta

B) A área é finita e igual a 1 unidade de área (convergente).

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