- Considere a região
delimitada pelo gráfico da função
para
, o eixo
e a reta vertical
. Determine se a área da regiāo
é finita ou infinita. Se for finita, assinale o seu valor.
A) A área é infinita (divergente).
B) A área é finita e igual a 1 unidade de área (convergente).
C) A área é finita e igual a 0,5 unidade de área (convergente).
D) A área é finita e igual a 2 unidades de área (convergente).
E) A área é finita e igual a
unidades de área (convergente).
A) A área é infinita (divergente).
B) A área é finita e igual a 1 unidade de área (convergente).
C) A área é finita e igual a 0,5 unidade de área (convergente).
D) A área é finita e igual a 2 unidades de área (convergente).
E) A área é finita e igual a
Passo 1
O enunciado dá a região
limitada por três curvas: a função
para
, o eixo
(ou seja,
) e a reta vertical
. A pergunta é: a área de
é finita ou infinita? Se for finita, qual é o seu valor (escolher entre as alternativas A–E)?
Informações relevantes do enunciado:
- A função é
. - O intervalo horizontal que descreve a região é de
até (porque a região vai para a direita sem limite finito). - A área pedida corresponde à área sob a curva desde
até sobre o eixo .
Passo 2
Como a região se estende até
, a área é dada por uma integral imprópria. Vou transformar a área em uma integral definida impropria: a área
é
Explicando isso devagar: a integral definida
significa, por definição, o limite
Então para saber se a área é finita (convergente) ou infinita (divergente) devemos calcular essa integral como limite.
Passo 3
Vamos calcular a primitiva (integração indefinida) de
. Reescrevendo a função como potência:
A regra de potência para integrais diz que, para
,
Aqui
, logo
Portanto uma primitiva de
é
.
Passo 4
Agora aplico a definição da integral imprópria:
Avalio a primitiva nos extremos:
Agora tomo o limite quando
:
Portanto a integral converge e seu valor é
.
Passo 5
Interpretação e intuição: apesar de a região se estender infinitamente para a direita, a função
decai rápido o suficiente (proporcional a
) para que as áreas das “caudas” somadas fiquem small e resultem em área finita. Um teste geral útil é o teste-p: para
, a integral converge se e somente se
. Aqui
, então converge — e calculamos que o valor é
. Para comparação rápida: se
(ou seja
) a área diverge.
Passo 6
Conclusão final: a área da região
é finita e vale
unidade de área. Entre as alternativas fornecidas, a correta é a que afirma área finita igual a
.
Resposta
B) A área é finita e igual a
unidade de área (convergente).