Expresse em coordenadas cartesianas as equações das curvas:
(a)
;
(a)
Passo 1
O enunciado pede: expressar em coordenadas cartesianas a curva dada em coordenadas polares por
com
.
Informações relevantes dadas:
- A equação polar é
. - O parâmetro angular varia em
.
Passo 2
Vamos lembrar as relações entre coordenadas polares
e cartesianas
. Essas fórmulas são fundamentais e muito usadas em provas; decora-as bem:
Explicando cada uma:
-
e dizem como projetar o ponto polar no eixo e respectivamente: multiplica-se a distância pela razão do cosseno ou seno do ângulo. -
vem do Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo formado pelo ponto, a origem e as projeções nos eixos.
Passo 3
Agora substituímos a informação
na relação
. Como
é positivo e fixo,
Portanto,
Passo 4
Interpretação geométrica (útil para a prova): a equação
descreve um círculo de centro na origem
e raio
. A variação
percorre esse círculo completo uma vez (não há restrição adicional, porque
é positivo e fixo).
Também é útil saber a forma paramétrica, que às vezes aparece em questões:
Essa parametrização gera exatamente a mesma curva representada pela equação cartesiana anterior.