Expresse em coordenadas cartesianas as equações das curvas:
(a) r=2, \quad-\pi \leq \theta \leq \pi;

Passo 1

O enunciado pede: expressar em coordenadas cartesianas a curva dada em coordenadas polares por r=2 com -\pi \leq \theta \leq \pi.
Informações relevantes dadas:
  • A equação polar é r=2.
  • O parâmetro angular varia em -\pi \leq \theta \leq \pi.

Passo 2

Vamos lembrar as relações entre coordenadas polares (r,\theta) e cartesianas (x,y). Essas fórmulas são fundamentais e muito usadas em provas; decora-as bem:
x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta, \qquad r^2 = x^2 + y^2.
Explicando cada uma:
  • \,x = r\cos\theta\, e \,y = r\sin\theta\, dizem como projetar o ponto polar no eixo x e y respectivamente: multiplica-se a distância r pela razão do cosseno ou seno do ângulo.
  • \,r^2 = x^2 + y^2\, vem do Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo formado pelo ponto, a origem e as projeções nos eixos.

Passo 3

Agora substituímos a informação r=2 na relação r^2 = x^2 + y^2. Como r=2 é positivo e fixo,
r^2 = 2^2 = 4.
Portanto,
x^2 + y^2 = 4.

Passo 4

Interpretação geométrica (útil para a prova): a equação \,x^2+y^2=4\, descreve um círculo de centro na origem (0,0) e raio 2. A variação -\pi \leq \theta \leq \pi percorre esse círculo completo uma vez (não há restrição adicional, porque r é positivo e fixo).
Também é útil saber a forma paramétrica, que às vezes aparece em questões:
x=2\cos\theta,\qquad y=2\sin\theta,\qquad -\pi\le\theta\le\pi.
Essa parametrização gera exatamente a mesma curva representada pela equação cartesiana anterior.

Resposta

x^2+y^2=4

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