Sejam
. Mostrar que
e
.
Passo 1
O enunciado dá as informações:
-
.
O que se pede mostrar:
- Provar a equivalência
e .
Isto significa duas coisas separadas para provar:
- Se
então e . - Se
e então .
Passo 2
Fato básico (lemninha útil): para todo inteiro
vale
. Além disso, se
então
, logo
.
Explicação curta e intuitiva: o quadrado de um inteiro nunca é negativo; o menor inteiro positivo em módulo é , então um inteiro não nulo tem quadrado pelo menos
.
Explicação curta e intuitiva: o quadrado de um inteiro nunca é negativo; o menor inteiro positivo em módulo é
Passo 3
Prova da primeira implicação: suponha
.
Pelo fato do Passo 2, e
. A soma de dois números não negativos só é igual a
se cada um deles for
. Logo
Pelo fato do Passo 2,
Para concluir a partir de
que
. Justificativa: se
então, pelo Passo 2,
, o que contradiz
. Portanto
. Pelo mesmo raciocínio, de
segue
.
Passo 4
Prova da segunda implicação (a recíproca): se
e
então, substituindo,
Portanto a recíproca também é verdadeira.
Passo 5
Conclusão combinada: mostramos que
implica
e
, e que
e
implicam
. Logo a equivalência está provada.