Sejam a, b \in \mathbb{Z}. Mostrar que a^{2}+b^{2}=0 \Longleftrightarrow a=0 e b=0.

Passo 1

O enunciado dá as informações:
  • a,b\in\mathbb{Z}.
O que se pede mostrar:
  • Provar a equivalência \,a^{2}+b^{2}=0 \Longleftrightarrow a=0 e b=0.
    Isto significa duas coisas separadas para provar:
  1. Se \,a^{2}+b^{2}=0 então a=0 e b=0.
  2. Se a=0 e b=0 então \,a^{2}+b^{2}=0.

Passo 2

Fato básico (lemninha útil): para todo inteiro n vale \,n^{2}\ge 0. Além disso, se n\neq 0 então |n|\ge 1, logo \,n^{2}\ge 1.
Explicação curta e intuitiva: o quadrado de um inteiro nunca é negativo; o menor inteiro positivo em módulo é 1, então um inteiro não nulo tem quadrado pelo menos 1.

Passo 3

Prova da primeira implicação: suponha \,a^{2}+b^{2}=0.
Pelo fato do Passo 2, a^{2}\ge 0 e b^{2}\ge 0. A soma de dois números não negativos só é igual a 0 se cada um deles for 0. Logo
a^{2}=0\qquad\text{e}\qquad b^{2}=0.
Para concluir a partir de a^{2}=0 que a=0. Justificativa: se a\neq 0 então, pelo Passo 2, a^{2}\ge 1, o que contradiz a^{2}=0. Portanto a=0. Pelo mesmo raciocínio, de b^{2}=0 segue b=0.

Passo 4

Prova da segunda implicação (a recíproca): se a=0 e b=0 então, substituindo,
a^{2}+b^{2}=0^{2}+0^{2}=0+0=0.
Portanto a recíproca também é verdadeira.

Passo 5

Conclusão combinada: mostramos que \,a^{2}+b^{2}=0 implica a=0 e b=0, e que a=0 e b=0 implicam \,a^{2}+b^{2}=0. Logo a equivalência está provada.

Resposta

a^{2}+b^{2}=0 \Longleftrightarrow a=0 e b=0

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