Expresse em coordenadas cartesianas as equações das curvas:
(b) r=3 \operatorname{sen} \theta, \quad 0 \leq \theta \leq \pi;

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r=3\sin\theta,\qquad 0\le\theta\le\pi.
O que se pede: expressar essa curva em coordenadas cartesianas (ou seja, uma equação envolvendo x e y). Vou listar claramente as informações úteis que temos:
  • A variável radial é r e o ângulo é \theta.
  • O intervalo 0\le\theta\le\pi implica \sin\theta\ge0, então r\ge0 para os \theta considerados.
  • Preciso transformar a relação entre r e \theta numa relação entre x e y.

Passo 2

Relembrando as relações entre coordenadas polares e cartesianas (essas são fórmulas fundamentais — vou explicar cada uma):
  • x é a projeção horizontal do vetor de comprimento r que faz ângulo \theta com o eixo x: x = r\cos\theta.
  • y é a projeção vertical desse mesmo vetor: y = r\sin\theta.
  • O quadrado da distância ao origem (a partir de Pitágoras) é r^{2}=x^{2}+y^{2}.
Aqui: r é a distância do ponto à origem, \theta é o ângulo medido a partir do eixo x, x e y são as coordenadas cartesianas do ponto.

Passo 3

Vou usar as igualdades acima para eliminar r e \theta em favor de x e y. Parto da equação dada:
r=3\sin\theta.
Multiplico os dois lados por r (uma operação válida porque r é não-negativo aqui):
r\cdot r = 3 r\sin\theta.
Usando r^{2}=x^{2}+y^{2} no lado esquerdo e r\sin\theta = y no lado direito, obtenho:
x^{2}+y^{2}=3y.

Passo 4

Para entender melhor a forma dessa curva, coloco a equação na forma padrão de uma circunferência. Reescrevo x^{2}+y^{2}=3y como
x^{2}+y^{2}-3y=0.
Agora completo o quadrado no termo em y. Tomo y^{2}-3y e acrescento \left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}=\dfrac{9}{4} em ambos os lados:
x^{2}+\bigl(y^{2}-3y+\tfrac{9}{4}\bigr)=\tfrac{9}{4}.
O parêntese do lado esquerdo é \bigl(y-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}. Assim obtenho a forma centro-raio:
x^{2}+\bigl(y-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}=\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}.
Isto mostra que a curva é uma circunferência com centro em \bigl(0,\tfrac{3}{2}\bigr) e raio \tfrac{3}{2}.

Passo 5

Agora uma observação sobre o intervalo de \theta: como 0\le\theta\le\pi temos \sin\theta\ge0 e, portanto, r=3\sin\theta\ge0. Para esses ângulos a representação polar traça a circunferência descrita acima exatamente uma vez — os pontos obtidos têm 0\le y\le 3 (de fato os extremos são y=0 na origem, quando \theta=0 ou \theta=\pi, e y=3 no ponto superior quando \theta=\tfrac{\pi}{2}). Assim a equação cartesiana obtida descreve a mesma circunferência que o enunciado define em polares.

Resposta

x^{2}+y^{2}=3y
x^{2}+\bigl(y-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}=\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}

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