Expresse em coordenadas cartesianas as equações das curvas:
(b)
;
(b)
Passo 1
O enunciado dá a curva em coordenadas polares
O que se pede: expressar essa curva em coordenadas cartesianas (ou seja, uma equação envolvendo
e
). Vou listar claramente as informações úteis que temos:
- A variável radial é
e o ângulo é . - O intervalo
implica , então para os considerados. - Preciso transformar a relação entre
e numa relação entre e .
Passo 2
Relembrando as relações entre coordenadas polares e cartesianas (essas são fórmulas fundamentais — vou explicar cada uma):
-
é a projeção horizontal do vetor de comprimento que faz ângulo com o eixo : -
é a projeção vertical desse mesmo vetor: - O quadrado da distância ao origem (a partir de Pitágoras) é
Aqui:
é a distância do ponto à origem,
é o ângulo medido a partir do eixo
,
e
são as coordenadas cartesianas do ponto.
Passo 3
Vou usar as igualdades acima para eliminar
e
em favor de
e
. Parto da equação dada:
Multiplico os dois lados por
(uma operação válida porque
é não-negativo aqui):
Usando
no lado esquerdo e
no lado direito, obtenho:
Passo 4
Para entender melhor a forma dessa curva, coloco a equação na forma padrão de uma circunferência. Reescrevo
como
Agora completo o quadrado no termo em
. Tomo
e acrescento
em ambos os lados:
O parêntese do lado esquerdo é
. Assim obtenho a forma centro-raio:
Isto mostra que a curva é uma circunferência com centro em
e raio
.
Passo 5
Agora uma observação sobre o intervalo de
: como
temos
e, portanto,
. Para esses ângulos a representação polar traça a circunferência descrita acima exatamente uma vez — os pontos obtidos têm
(de fato os extremos são
na origem, quando
ou
, e
no ponto superior quando
). Assim a equação cartesiana obtida descreve a mesma circunferência que o enunciado define em polares.