Considere a região R entre o eixo x e a curva y=ln (x) para x variando de 0 a 1. Faça o que se pede em cada item.
Formule a integral (sem resolvê-la) que representa o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão pede para a gente encontrar uma integral que represente o volume de um sólido formado ao girar a região $ R $ em torno do eixo $ y $. Essa região $ R $ está entre o eixo $ x $ e a curva $ y = \ln(x) $, no intervalo de $ x $ de 0 a 1.
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre volumes de sólidos de rotação, especificamente utilizando o método dos cilindros (ou cascas cilíndricas). Para resolver, vamos precisar entender como aplicar esse método passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar melhor a região $ R $. Imagine o gráfico da função $ y = \ln(x) $. Sabemos que $ \ln(x) $ está definido para $ x > 0 $ e, entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $, a função tem valores negativos, já que $ \ln(1) = 0 $ e $ \ln(x) $ tende a menos infinito quando $ x $ se aproxima de 0 pela direita.
Nesse caso, como vamos girar essa região em torno do eixo $ y $, o método dos cilindros cilíndricos é apropriado. Esse método é útil quando o eixo de rotação é vertical, como é o caso aqui.

Passo 3

Vamos revisar rapidamente o método dos cilindros. A ideia é imaginar a região $ R $ quebrada em finas fatias verticais (cilindros). Cada cilindro tem uma altura e um raio, e o volume total será a soma de todos esses volumes infinitesimais.
A fórmula geral para o volume usando esse método é:
R
Aqui, $ x $ é o raio do cilindro (a distância do eixo de rotação) e $ f(x) $ é a altura do cilindro.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso problema, temos:
  • Função $ f(x) $: No nosso caso, a altura do cilindro é a distância entre o eixo $ x $ e a curva, que é $ y = \ln(x) $. Como $ \ln(x) $ é negativo nesse intervalo, a altura vai ser $ -\ln(x) $ para termos valores positivos de altura.
  • Intervalo de integração: De $ x = 0 $ até $ x = 1 $.
Então, substituindo na fórmula:
f(x)
Mas, como estamos interessados no valor absoluto do volume, podemos considerar apenas $ \ln(x) $ sem o sinal negativo, já que estamos integrando sobre a área.

Passo 5

Portanto, a integral que representa o volume do sólido obtido pela rotação da região $ R $ em torno do eixo $ y $ é:
R

Resposta

A integral que representa o volume solicitado é:
V = 2pi integral0^1 x cdot ln(x) , dx

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