Se aplicarmos o Teorema Fundamental do Cálculo em integral-1^1 1x^2 d x, obteremos a seguinte igualdade:
integral-1^1 1x^2 d x=-1x|-1 ^1=-2
Como a função f(x)=1x^2>0, isto não faz sentido. O que está errado?

Passo 1

O exercício pede para analisar a “falha” na aplicação direta do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) em integral-1^11x^2,dx, que a princípio dá um valor negativo ( -2), embora f(x)=1/x^2>0. O conteúdo envolve o TFC e integrais impróprias, e para resolver precisamos checar as hipóteses de continuidade de f em [-1,1] e tratar corretamente a singularidade em x=0.

Passo 2

O TFC só vale quando a função está contínua em todo o intervalo fechado de integração. Aqui f(x)=1/x^2 não é contínua em x=0 (há uma “infinidade” ali), então não podemos usar direto a primitiva e avaliar em -1 e 1.

Passo 3

Para tratar corretamente, definimos a integral como imprópria e separamos em duas:
integral-1^11x^2,dx=integral-1^01x^2,dx+integral0^11x^2,dx
Em cada pedaço, fazemos limite. Por exemplo, para integral-1^0:
integral-1^01x^2,dx=limtto0^-integral-1^t1x^2,dx=limtto0^-l(-1xr)|-1^t=limtto0^-l(-1t+1r)
Como tto0^- faz -1/t)to+infty, essa parte diverge.

Passo 4

De modo análogo, integral0^11/x^2,dx também diverge para +infty. Logo, a integral imprópria integral-1^11/x^2,dx não converge, e não faz sentido obter -2 aplicando o TFC sem verificar a continuidade.

Passo 5

A “falha” foi ignorar que f não é contínua em [ -1,1]. Sendo imprópria, a integral diverge e não há valor finito.

Resposta

O erro é aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo sem checar a continuidade de 1/x^2 em todo o intervalo: como há singularidade em x=0, a integral é imprópria e diverge (não existe valor finito).

Exercícios relacionados