Se aplicarmos o Teorema Fundamental do Cálculo em , obteremos a seguinte igualdade:
Como a função f(x)=1x^2>0, isto não faz sentido. O que está errado?
Passo 1
O exercício pede para analisar a “falha” na aplicação direta do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) em integral-1^11x^2,dx, que a princípio dá um valor negativo (-2), embora f(x)=1/x^2>0. O conteúdo envolve o TFC e integrais impróprias, e para resolver precisamos checar as hipóteses de continuidade de f em [-1,1] e tratar corretamente a singularidade em x=0.
Passo 2
O TFC só vale quando a função está contínua em todo o intervalo fechado de integração. Aqui f(x)=1/x^2 não é contínua em x=0 (há uma “infinidade” ali), então não podemos usar direto a primitiva e avaliar em -1 e 1.
Passo 3
Para tratar corretamente, definimos a integral como imprópria e separamos em duas:
integral-1^11x^2,dx=integral-1^01x^2,dx+integral0^11x^2,dx
Em cada pedaço, fazemos limite. Por exemplo, para integral-1^0: integral-1^01x^2,dx=limtto0^-integral-1^t1x^2,dx=limtto0^-l(-1xr)|-1^t=limtto0^-l(-1t+1r)
Como tto0^- faz -1/t)to+infty, essa parte diverge.
Passo 4
De modo análogo, integral0^11/x^2,dx também diverge para +infty. Logo, a integral imprópria integral-1^11/x^2,dx não converge, e não faz sentido obter -2 aplicando o TFC sem verificar a continuidade.
Passo 5
A “falha” foi ignorar que f não é contínua em [ -1,1]. Sendo imprópria, a integral diverge e não há valor finito.
Resposta
O erro é aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo sem checar a continuidade de 1/x^2 em todo o intervalo: como há singularidade em x=0, a integral é imprópria e diverge (não existe valor finito).