Existe algum número real k tal que a função
f(x)=lll 5x^2 & se & x neq 0 k & se & x=0
seja contínua em x=0 ?

Passo 1

Vamos entender o problema: queremos descobrir se existe um número real $ k $ que faz com que a função
k
seja contínua em $ x = 0 $. Para isso, precisamos usar o conceito de continuidade e calcular o limite da função quando $ x $ se aproxima de 0.

Passo 2

Para que a função $ f(x) $ seja contínua em $ x = 0 $, o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0 deve ser igual a $ f(0) = k $. Vamos calcular esse limite:
f(x)

Passo 3

Vamos analisar o limite:
limx to 0 5x^2
À medida que $ x $ se aproxima de 0, $ x^{2} $ também se aproxima de 0, fazendo com que $ \frac{5}{x^{2}} $ cresça sem limite, ou seja, tende ao infinito.

Passo 4

Como o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0 é infinito, não existe um número real $ k $ que seja igual a esse limite. Para a função ser contínua em $ x = 0 $, precisávamos que $ \lim_{{x \to 0}} f(x) = f(0) $, mas isso não é possível nesse caso.

Resposta

Não, não existe nenhum número real $ k $ que torna a função contínua em $ x = 0 $.

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