Existe algum número real
tal que a função
seja contínua em
?
Passo 1
Vamos entender o problema: queremos descobrir se existe um número real $ k $ que faz com que a função
seja contínua em $ x = 0 $. Para isso, precisamos usar o conceito de continuidade e calcular o limite da função quando $ x $ se aproxima de 0.
Passo 2
Para que a função $ f(x) $ seja contínua em $ x = 0 $, o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0 deve ser igual a $ f(0) = k $. Vamos calcular esse limite:
Passo 3
Vamos analisar o limite:
À medida que $ x $ se aproxima de 0, $ x^{2} $ também se aproxima de 0, fazendo com que $ \frac{5}{x^{2}} $ cresça sem limite, ou seja, tende ao infinito.
Passo 4
Como o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0 é infinito, não existe um número real $ k $ que seja igual a esse limite. Para a função ser contínua em $ x = 0 $, precisávamos que $ \lim_{{x \to 0}} f(x) = f(0) $, mas isso não é possível nesse caso.
Resposta
Não, não existe nenhum número real $ k $ que torna a função contínua em $ x = 0 $.