Dado um ponto sobre a reta , a distância entre o ponto e a reta é dada pelo módulo da projeção do vetor diferença sobre o vetor que é normal a reta. O vetor normal a reta é , assim
Passo 1
A questão é derivar a fórmula da distância de um ponto P₁(x₁,y₁) até a reta ax+by+c=0 usando projeção de vetores. Vamos usar conceitos de produto escalar e norma de vetor para isso.
Passo 2
Definimos o vetor diferença entre o ponto P₁ e um ponto qualquer P₀(x₀,y₀) que esteja sobre a reta: é o vetor . Também identificamos o vetor normal à reta como n=(a,b).
A distância d é dada pelo módulo da projeção de P0P1 sobre o vetor normal n. Pela definição de projeção escalar:
d=l|P0P1cdotnr||n|
Passo 3
Calculamos o produto escalar:
P0P1cdotn=a(x1-x0)+b(y1-y0)
Passo 4
Como P₀ está sobre a reta, ele satisfaz a x0+b y0+c=0, isto é, a x0+b y0=-c. Substituindo em cima:
a(x1-x0)+b(y1-y0)=a x1+b y1 - (a x0+b y0)=a x1+b y1 +c
Passo 5
Por fim, substituímos no valor de d e lembramos que |n|=raiza^2+b^2. Isso nos leva à fórmula desejada.