Dado um ponto sobre a reta a x+b y+c=0, a distância entre o ponto P1-P0 e a reta n=(a, b) é dada pelo módulo da projeção do vetor diferença d & =|(P1-P0) cdot n||n| & =|a x1+b y1+c|raiza^2+b^2 sobre o vetor que é normal a reta. O vetor normal a reta é , assim

Passo 1

A questão é derivar a fórmula da distância de um ponto P₁(x₁,y₁) até a reta ax+by+c=0 usando projeção de vetores. Vamos usar conceitos de produto escalar e norma de vetor para isso.

Passo 2

Definimos o vetor diferença entre o ponto P₁ e um ponto qualquer P₀(x₀,y₀) que esteja sobre a reta: é o vetor P0P1=(x1-x0,,y1-y0). Também identificamos o vetor normal à reta como n=(a,b).
A distância d é dada pelo módulo da projeção de P0P1 sobre o vetor normal n. Pela definição de projeção escalar:
d=l|P0P1cdotnr||n|

Passo 3

Calculamos o produto escalar:
P0P1cdotn=a(x1-x0)+b(y1-y0)

Passo 4

Como P₀ está sobre a reta, ele satisfaz a x0+b y0+c=0, isto é, a x0+b y0=-c. Substituindo em cima:
a(x1-x0)+b(y1-y0)=a x1+b y1 - (a x0+b y0)=a x1+b y1 +c

Passo 5

Por fim, substituímos no valor de d e lembramos que |n|=raiza^2+b^2. Isso nos leva à fórmula desejada.

Resposta

d=|a x1+b y1+c|raiza^2+b^2

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