Derive:
f(x)=x^5 ln (raizx^2+3 x)

Passo 1

Neste exercício, vamos derivar a função $ f(x) = x^{5} \ln \left(\sqrt{x^{2}+3 x}\right) $. Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar entender como derivar produtos de funções e aplicar propriedades de logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Sabemos que $ \sqrt{x^{2} + 3x} = (x^{2} + 3x)^{1/2} $. Então, podemos reescrever a função como:
raizx^2 + 3x = (x^2 + 3x)^1/2

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos $ \ln(a^{b}) = b \ln(a) $, simplificamos a expressão:
ln(a^b) = b ln(a)
f(x) = x^5 cdot 12 ln(x^2 + 3x)

Passo 4

Agora, vamos aplicar a regra do produto para derivar $ f(x) = \frac{1}{2} x^{5} \ln(x^{2} + 3x) $. A regra do produto diz que se temos $ u(x) \cdot v(x) $, então a derivada é $ u’(x)v(x) + u(x)v’(x) $. Aqui, $ u(x) = x^{5} $ e $ v(x) = \ln(x^{2} + 3x) $.

Passo 5

Vamos calcular $ u’(x) $ e $ v’(x) $ separadamente.
Primeiro, $ u(x) = x^{5} $, então:
u'(x)
Segundo, $ v(x) = \ln(x^{2} + 3x) $. Para derivar isso, usamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de $ \ln(g(x)) $ é $ \frac{g’(x)}{g(x)} $.

Passo 6

Calculando $ g(x) = x^{2} + 3x $, temos:
g(x) = x^2 + 3x
Então, a derivada de $ v(x) $ é:
g'(x) = 2x + 3

Passo 7

Agora, aplicando a regra do produto:
f'(x) = 12 ( u'(x) v(x) + u(x) v'(x) )
Substituindo os valores:
f'(x) = 12 ( 5x^4 ln(x^2 + 3x) + x^5 cdot 2x + 3x^2 + 3x )

Passo 8

Podemos simplificar a segunda parte da expressão:
x^5 cdot 2x + 3x^2 + 3x = x^5 cdot 2x + 3x(x + 3) = x^4 cdot 2x + 3x + 3

Passo 9

Assim, a derivada fica:
f'(x) = 12 ( 5x^4 ln(x^2 + 3x) + x^4 cdot 2x + 3x + 3 )

Resposta

A derivada de $ f(x) = x^{5} \ln \left(\sqrt{x^{2}+3 x}\right) $ é:
f(x) = x^5 ln (raizx^2+3 x)

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