Derive:
Passo 1
Neste exercício, vamos derivar a função $ f(x) = x^{5} \ln \left(\sqrt{x^{2}+3 x}\right) $. Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar entender como derivar produtos de funções e aplicar propriedades de logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Sabemos que $ \sqrt{x^{2} + 3x} = (x^{2} + 3x)^{1/2} $. Então, podemos reescrever a função como:
Passo 3
Usando a propriedade dos logaritmos $ \ln(a^{b}) = b \ln(a) $, simplificamos a expressão:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a regra do produto para derivar $ f(x) = \frac{1}{2} x^{5} \ln(x^{2} + 3x) $. A regra do produto diz que se temos $ u(x) \cdot v(x) $, então a derivada é $ u’(x)v(x) + u(x)v’(x) $. Aqui, $ u(x) = x^{5} $ e $ v(x) = \ln(x^{2} + 3x) $.
Passo 5
Vamos calcular $ u’(x) $ e $ v’(x) $ separadamente.
Primeiro, $ u(x) = x^{5} $, então:
Segundo, $ v(x) = \ln(x^{2} + 3x) $. Para derivar isso, usamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de $ \ln(g(x)) $ é $ \frac{g’(x)}{g(x)} $.
Passo 6
Calculando $ g(x) = x^{2} + 3x $, temos:
Então, a derivada de $ v(x) $ é:
Passo 7
Agora, aplicando a regra do produto:
Substituindo os valores:
Passo 8
Podemos simplificar a segunda parte da expressão:
Passo 9
Assim, a derivada fica:
Resposta
A derivada de $ f(x) = x^{5} \ln \left(\sqrt{x^{2}+3 x}\right) $ é: