Considere a região limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de em torno do eixo dado. : eixo
Passo 1
A região R é definida por y=ln x (curva superior), y=0 (eixo x) e x=e^2 (restrição vertical). Vamos girar R em torno do eixo y e calcular o volume do sólido gerado. O conteúdo aqui é volume por rotação de região plana, e vamos usar o método das cascas cilíndricas.
Passo 2
No método das cascas cilíndricas, dividimos R em tiras verticais de espessura dx. Cada casca tem raio x, altura igual à distância vertical entre a curva e o eixo x, isto é, altura = ln x - 0 = ln x, e espessura dx. A fórmula do volume é
Passo 3
Precisamos então calcular a integral . Usamos integração por partes escolhendo .
Assim:
Passo 4
Agora avaliamos de até :
Passo 5
Multiplicando pelo fator 2pi do método das cascas, obtemos