Considere a região R limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de R em torno do eixo E dado.
R: y=ln x, y=0, x=e^2 E : eixo y

Passo 1

A região R é definida por y=ln x (curva superior), y=0 (eixo x) e x=e^2 (restrição vertical). Vamos girar R em torno do eixo y e calcular o volume do sólido gerado. O conteúdo aqui é volume por rotação de região plana, e vamos usar o método das cascas cilíndricas.

Passo 2

No método das cascas cilíndricas, dividimos R em tiras verticais de espessura dx. Cada casca tem raio x, altura igual à distância vertical entre a curva e o eixo x, isto é, altura = ln x - 0 = ln x, e espessura dx. A fórmula do volume é
V = 2pi integralx=a^x=b (raio) cdot (a

Passo 3

Precisamos então calcular a integral I = integral x ln x ,dx. Usamos integração por partes escolhendo
u = ln x Rightarrow du=1xdx
dv = x,dx Rightarrow v=x^22.
Assim:
I = x^22ln x - integral x^22 cdot 1x ,dx = x^22ln x - 12 integral x ,dx = x^22ln x - x^24 + C

Passo 4

Agora avaliamos de x=1 até x=e^2:
integral1^e^2 xln x ,dx = l(x^22ln x - x^24r)|1^e^2 = l(e^42cdot 2 - e^44r) - l(0 - 14r) = 3e^4+14

Passo 5

Multiplicando pelo fator 2pi do método das cascas, obtemos
V = 2pi cdot 3e^4 + 14 = pi2,(3e^4 + 1)

Resposta

V = pi2,(3e^4 + 1)

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