Esboce a região R compreendida entre as curvas dadas e calcule sua área
y=-x^2+3 x+6 e y=2|x|

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenhar a região $ R $ que está entre as curvas $ y = -x^{2} + 3x + 6 $ e $ y = 2|x| $, e depois calcular a área dessa região. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre gráficos de funções, como encontrar pontos de interseção e usar integrais para calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram. Ou seja, vamos resolver a equação $ -x^{2} + 3x + 6 = 2|x| $. Como temos o valor absoluto, vamos considerar dois casos: quando $ x $ é positivo e quando $ x $ é negativo.

Passo 3

Caso 1: $ x \geq 0 $
Aqui, $ |x| = x $, então a equação fica:
x >= 0
Vamos simplificar:
|x| = x
Resolvendo a equação quadrática:
-x^2 + 3x + 6 = 2x
As soluções são $ x = 3 $ e $ x = -2 $. Como estamos no caso $ x \geq 0 $, só consideramos $ x = 3 $.
Caso 2: $ x < 0 $
Aqui, $ |x| = -x $, então a equação fica:
-x^2 + 3x + 6 - 2x = 0 Rightarrow -x^2 + x + 6 = 0 Rightarrow x^2 - x - 6 = 0
Simplificando:
x = 1 pm raiz1 + 242 = 1 pm 52
Resolvendo a equação quadrática:
x = 3
As soluções são $ x = 6 $ e $ x = -1 $. Como estamos no caso $ x < 0 $, só consideramos $ x = -1 $.
Então, os pontos de interseção são $ x = -1 $ e $ x = 3 $.

Passo 4

Agora, precisamos saber qual das duas funções está acima da outra no intervalo entre $ x = -1 $ e $ x = 3 $. Vamos escolher um valor de $ x $ dentro desse intervalo, por exemplo, $ x = 0 $:
x = -1
x = 3
Vemos que $ y = -x^{2} + 3x + 6 $ está acima de $ y = 2|x| $ nesse intervalo.

Passo 5

Para calcular a área entre as curvas, usamos a integral da função de cima menos a função de baixo, entre os limites de integração $ x = -1 $ e $ x = 3 $:
x = -1 Á
Vamos dividir a integral em duas partes, já que $ |x| $ muda de expressão dependendo do sinal de $ x $:
  1. De $ x = -1 $ a $ x = 0 $, $ |x| = -x $.
  2. De $ x = 0 $ a $ x = 3 $, $ |x| = x $.
Então:
x = 3 Á
Simplificando as expressões dentro das integrais:
Área = integral-1^3 [ (-x^2 + 3x + 6) - 2|x| ] dx
|x|

Passo 6

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira Integral:
integral-1^0 (-x^2 + 5x + 6) dx = [ -x^33 + 5x^22 + 6x ]-1^0
Avaliar em $ 0 $:
0
Avaliar em $ -1 $:
= 0 + 0 + 0 = 0
Então, a primeira integral é:
-1
Segunda Integral:
= -(-1)^33 + 5(-1)^22 + 6(-1) = 13 + 52 - 6 = 13 + 2,5 - 6 = -2,1667
Avaliar em $ 3 $:
0 - (-2,1667) = 2,1667
Avaliar em $ 0 $:
integral0^3 (-x^2 + x + 6) dx = [ -x^33 + x^22 + 6x ]0^3
Então, a segunda integral é:
3

Resposta

A área da região $ R $ compreendida entre as curvas $ y = -x^{2} + 3x + 6 $ e $ y = 2|x| $ é aproximadamente 15,6667 unidades quadradas.

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