Esboce a região
compreendida entre as curvas dadas e calcule sua área
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenhar a região $ R $ que está entre as curvas $ y = -x^{2} + 3x + 6 $ e $ y = 2|x| $, e depois calcular a área dessa região. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre gráficos de funções, como encontrar pontos de interseção e usar integrais para calcular áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram. Ou seja, vamos resolver a equação $ -x^{2} + 3x + 6 = 2|x| $. Como temos o valor absoluto, vamos considerar dois casos: quando $ x $ é positivo e quando $ x $ é negativo.
Passo 3
Caso 1: $ x \geq 0 $
Aqui, $ |x| = x $, então a equação fica:
Vamos simplificar:
Resolvendo a equação quadrática:
As soluções são $ x = 3 $ e $ x = -2 $. Como estamos no caso $ x \geq 0 $, só consideramos $ x = 3 $.
Caso 2: $ x < 0 $
Aqui, $ |x| = -x $, então a equação fica:
Simplificando:
Resolvendo a equação quadrática:
As soluções são $ x = 6 $ e $ x = -1 $. Como estamos no caso $ x < 0 $, só consideramos $ x = -1 $.
Então, os pontos de interseção são $ x = -1 $ e $ x = 3 $.
Passo 4
Agora, precisamos saber qual das duas funções está acima da outra no intervalo entre $ x = -1 $ e $ x = 3 $. Vamos escolher um valor de $ x $ dentro desse intervalo, por exemplo, $ x = 0 $:
Vemos que $ y = -x^{2} + 3x + 6 $ está acima de $ y = 2|x| $ nesse intervalo.
Passo 5
Para calcular a área entre as curvas, usamos a integral da função de cima menos a função de baixo, entre os limites de integração $ x = -1 $ e $ x = 3 $:
Vamos dividir a integral em duas partes, já que $ |x| $ muda de expressão dependendo do sinal de $ x $:
- De $ x = -1 $ a $ x = 0 $, $ |x| = -x $.
- De $ x = 0 $ a $ x = 3 $, $ |x| = x $.
Então:
Simplificando as expressões dentro das integrais:
Passo 6
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira Integral:
Avaliar em $ 0 $:
Avaliar em $ -1 $:
Então, a primeira integral é:
Segunda Integral:
Avaliar em $ 3 $:
Avaliar em $ 0 $:
Então, a segunda integral é:
Resposta
A área da região $ R $ compreendida entre as curvas $ y = -x^{2} + 3x + 6 $ e $ y = 2|x| $ é aproximadamente 15,6667 unidades quadradas.