Considere a região R localizada acima do eixo das abscissas, à direita da reta x=1 e sob a curva y=4-x^2. Em cada item, faça uma figura com um esboço da região, mostrando o i-ésimo retângulo elementar, e calcule a área da região, expressando-a como o limite de uma Soma de Riemann, tomando retângulos elementares:
com altura f(xii),
onde xii é o ponto médio do i-ésimo subintervalo da partição.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região que está acima do eixo das abscissas (ou seja, onde ), à direita da reta e abaixo da curva . O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de área usando Soma de Riemann, especificamente utilizando retângulos com altura no ponto médio de cada subintervalo. Para resolver isso, vamos precisar dividir a região em pequenos retângulos, calcular a área de cada um e somar tudo no limite quando o número de retângulos tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração. A curva intercepta o eixo quando , ou seja, . Mas como estamos considerando apenas à direita de , nosso intervalo de integração vai de até .

Passo 3

Agora, vamos dividir esse intervalo em subintervalos iguais. Cada subintervalo terá comprimento .

Passo 4

Em cada subintervalo, escolhemos o ponto médio xii = 1 + (i - 12)De para determinar a altura do retângulo. O ponto médio do -��simo subintervalo é dado por:

Passo 5

A altura de cada retângulo é . Então, a área de cada retângulo é .

Passo 6

A área total da região A approx sumi=1^n (4 - (1 + (i - 12)1n)^2) cdot 1n pode ser aproximada somando a área de todos os retângulos:

Passo 7

Para encontrar a área exata, tomamos o limite dessa soma quando A = limn to infty sumi=1^n (4 - (1 + (i - 12)1n)^2) cdot 1n tende ao infinito:

Resposta

A área da região A = limn to infty sumi=1^n (4 - (1 + (i - 12)1n)^2) cdot 1n é dada por:

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