Considere a região
localizada acima do eixo das abscissas, à direita da reta
e sob a curva
. Em cada item, faça uma figura com um esboço da região, mostrando o i-ésimo retângulo elementar, e calcule a área da região, expressando-a como o limite de uma Soma de Riemann, tomando retângulos elementares:
com altura
,
onde
é o ponto médio do i-ésimo subintervalo da partição.
com altura
onde
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região
que está acima do eixo das abscissas (ou seja, onde
), à direita da reta
e abaixo da curva
. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de área usando Soma de Riemann, especificamente utilizando retângulos com altura no ponto médio de cada subintervalo. Para resolver isso, vamos precisar dividir a região em pequenos retângulos, calcular a área de cada um e somar tudo no limite quando o número de retângulos tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração. A curva
intercepta o eixo
quando
, ou seja,
. Mas como estamos considerando apenas à direita de
, nosso intervalo de integração vai de
até
.
Passo 3
Agora, vamos dividir esse intervalo
em
subintervalos iguais. Cada subintervalo terá comprimento
.
Passo 4
Em cada subintervalo, escolhemos o ponto médio
para determinar a altura do retângulo. O ponto médio do
-��simo subintervalo é dado por:
Passo 5
A altura de cada retângulo é
. Então, a área de cada retângulo é
.
Passo 6
A área total da região
pode ser aproximada somando a área de todos os
retângulos:
Passo 7
Para encontrar a área exata, tomamos o limite dessa soma quando
tende ao infinito:
Resposta
A área da região
é dada por: