Considere a região
localizada acima do eixo das abscissas, à direita da reta
e sob a curva
. Em cada item, faça uma figura com um esboço da região, mostrando o i-ésimo retângulo elementar, e calcule a área da região, expressando-a como o limite de uma Soma de Riemann, tomando retângulos elementares:
inscritos em
;
inscritos em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a área da região
que está acima do eixo das abscissas (ou seja,
), à direita da reta
e abaixo da curva
. Para isso, vamos usar o conceito de Soma de Riemann, que nos ajuda a aproximar a área sob uma curva dividindo-a em pequenos retângulos. No final, a gente vai expressar essa área como o limite de uma Soma de Riemann quando o número de retângulos tende ao infinito. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor os limites da nossa região
. A curva dada é
. Queremos encontrar os pontos onde essa curva cruza o eixo das abscissas (
) para determinar os limites de integração.
Resolvendo
:
Como estamos considerando apenas à direita de
, nosso intervalo de integração vai de
até
.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral definida que representa a área da região
. A área sob a curva
de
a
é dada por:
Aqui,
é a altura dos retângulos que vamos somar, e
é a largura de cada retângulo.
Passo 4
Para calcular essa integral, vamos encontrar a antiderivada de
. A antiderivada de uma função nos dá uma função cuja derivada é a original. Então:
Como estamos calculando uma integral definida, não precisamos da constante
.
Passo 5
Agora, vamos avaliar a antiderivada nos limites de integração
e
:
Calculando cada parte:
Passo 6
Simplificando as frações:
Subtraindo:
Passo 7
Finalmente, expressamos a área
como o limite de uma Soma de Riemann. Ou seja:
Onde
e
.
Resposta
A área da região
é
unidades de área.