Considere a região R localizada acima do eixo das abscissas, à direita da reta x=1 e sob a curva y=4-x^2. Em cada item, faça uma figura com um esboço da região, mostrando o i-ésimo retângulo elementar, e calcule a área da região, expressando-a como o limite de uma Soma de Riemann, tomando retângulos elementares:
inscritos em R;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a área da região que está acima do eixo das abscissas (ou seja, ), à direita da reta e abaixo da curva . Para isso, vamos usar o conceito de Soma de Riemann, que nos ajuda a aproximar a área sob uma curva dividindo-a em pequenos retângulos. No final, a gente vai expressar essa área como o limite de uma Soma de Riemann quando o número de retângulos tende ao infinito. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor os limites da nossa região x^2 = 4 Rightarrow x = pm 2 . A curva dada é . Queremos encontrar os pontos onde essa curva cruza o eixo das abscissas ( ) para determinar os limites de integração.
Resolvendo :
Como estamos considerando apenas à direita de , nosso intervalo de integração vai de até .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral definida que representa a área da região A = integral1^2 (4 - x^2) , dx . A área sob a curva de a é dada por:
Aqui, é a altura dos retângulos que vamos somar, e é a largura de cada retângulo.

Passo 4

Para calcular essa integral, vamos encontrar a antiderivada de integral (4 - x^2) , dx = 4x - x^33 + C . A antiderivada de uma função nos dá uma função cuja derivada é a original. Então:
Como estamos calculando uma integral definida, não precisamos da constante .

Passo 5

Agora, vamos avaliar a antiderivada nos limites de integração A = [4x - x^33]1^2 = (4(2) - 2^33) - (4(1) - 1^33) e = (8 - 83) - (4 - 13) :
Calculando cada parte:

Passo 6

Simplificando as frações:
8 - 83 = 243 - 83 = 163
4 - 13 = 123 - 13 = 113
Subtraindo:
A = 163 - 113 = 53

Passo 7

Finalmente, expressamos a área A = limn to infty sumi=1^n f(xi) De como o limite de uma Soma de Riemann. Ou seja:
Onde e .

Resposta

A área da região é unidades de área.

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