Resolva a E.D.O, utilizando o método de separação de variáveis (ou equações separáveis).
(1+x) y^prime-y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial (1+x)y' - y = 0 e precisa resolvê-la usando o método de separação de variáveis. Esse método ajuda a separar as partes que envolvem y das que envolvem x, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a derivada y' isolada. A equação é (1+x)y' - y = 0. Assim, somamos y em ambos os lados para obter:
(1+x)y' = y

Passo 3

Agora, queremos deixar y' sozinho. Para isso, dividimos ambos os lados por (1+x):
y' = y1+x

Passo 4

O próximo passo é separar as variáveis y e x. Dividimos ambos os lados por y e multiplicamos por dx para conseguir:
1y dy = 11+x dx

Passo 5

Agora, a gente integra os dois lados da equação. Assim:
integral 1y dy = integral 11+x dx

Passo 6

As integrais ficam:
ln|y| = ln|1+x| + C
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Para resolver para y, aplicamos a exponenciação nos dois lados:
y = e^ln|1+x| + C
Como e^ln|1+x| = |1+x| e podemos absorver a constante multiplicativa na constante C, simplificamos para:
y = C(1 + x)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é y = C(1 + x), onde C é uma constante qualquer.

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