Resolva a equação de Bernoulli
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o problema. Temos a equação diferencial de Bernoulli:
Aqui, vamos trabalhar com cálculo diferencial, especificamente com equações de Bernoulli. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar conhecer a técnica de substituição que simplifica a equação para uma forma mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Dividindo ambos os lados por
, obtemos:
Agora, a equação está na forma padrão de uma equação de Bernoulli:
Aqui,
,
e
.
Passo 3
Para resolver a equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação em uma equação linear. Definimos:
Isso significa que
. Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Calculamos a derivada de
:
Ou seja,
Passo 5
Substituímos
da equação original na expressão acima:
Mas sabemos que
, então:
Passo 6
Agora, temos uma equação linear em
:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando o fator integrante.
Passo 7
Calculamos o fator integrante (
):
Multiplicamos toda a equação por
:
Passo 8
A equação agora fica:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Resolvendo para
:
Lembrando que
, então:
Passo 10
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação é: