Resolva a equação de Bernoulli nu d nud x=nu^2-e^2 x nu^3.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o problema. Temos a equação diferencial de Bernoulli:
nu d nud x = nu^2 - e^2x nu^3
Aqui, vamos trabalhar com cálculo diferencial, especificamente com equações de Bernoulli. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar conhecer a técnica de substituição que simplifica a equação para uma forma mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Dividindo ambos os lados por nu, obtemos:
d nud x = nu - e^2x nu^2
Agora, a equação está na forma padrão de uma equação de Bernoulli:
d yd x + P(x) y = Q(x) y^n
Aqui, P(x) = -1, Q(x) = e^2x e n = 2.

Passo 3

Para resolver a equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação em uma equação linear. Definimos:
v = nu^1 - n = nu^-1
Isso significa que v = 1nu. Agora, precisamos encontrar a derivada de v em relação a x.

Passo 4

Calculamos a derivada de v:
d vd x = dd x ( nu^-1 ) = -nu^-2 d nud x
Ou seja,
d vd x = -1nu^2 d nud x

Passo 5

Substituímos d nud x da equação original na expressão acima:
d vd x = -1nu^2 ( nu - e^2x nu^2 ) = -nunu^2 + e^2x nu^2nu^2 = -1nu + e^2x
Mas sabemos que v = 1nu, então:
d vd x = -v + e^2x

Passo 6

Agora, temos uma equação linear em v:
d vd x + v = e^2x
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando o fator integrante.

Passo 7

Calculamos o fator integrante ( mu(x)):
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral 1 dx = e^x
Multiplicamos toda a equação por mu(x):
e^x d vd x + e^x v = e^x e^2x = e^3x

Passo 8

A equação agora fica:
dd x ( e^x v ) = e^3x
Integrando ambos os lados:
e^x v = integral e^3x dx = e^3x3 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 9

Resolvendo para v:
v = e^3x3 e^x + Ce^x = e^2x3 + C e^-x
Lembrando que v = 1nu, então:
1nu = e^2x3 + C e^-x

Passo 10

Finalmente, resolvemos para nu:
nu = 1e^2x3 + C e^-x = 3e^2x + 3C e^-x

Resposta

A solução geral da equação é:
nu(x) = 3e^2x + 3C e^-x

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