Considere a região R do plano x y dada por R: 0 <= r <= 20 <= theta <= pi2 descrita em coordenadas polares.
Como seria a descrição dessa região em coordenadas cartesianas?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma região R no plano xy definida em coordenadas polares por 0 <= r <= 20 e 0 <= theta <= pi2. Nosso objetivo é traduzir essa descrição para coordenadas cartesianas, ou seja, em termos de x e y.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter coordenadas polares para cartesianas. As fórmulas são:
x = r cdot cos(theta)
y = r cdot sin(theta)
Essas expressões nos ajudam a passar de r e θ para x e y.

Passo 3

Vamos analisar os limites de r e θ:
  • : Isso significa que o raio varia de 0 até 20 unidades.
  • : Isso significa que o ângulo θ vai do eixo positivo x até o eixo positivo y, ou seja, estamos falando do primeiro quadrante.

Passo 4

Como estamos no primeiro quadrante, sabemos que tanto x quanto y são maiores ou iguais a zero:
x >= 0
y >= 0

Passo 5

Além disso, o limite superior para r é 20, o que define um círculo de raio 20. Em coordenadas cartesianas, a equação desse círculo é:
x^2 + y^2 <= 20^2
x^2 + y^2 <= 400

Passo 6

Juntando tudo, a região R em coordenadas cartesianas é o conjunto de todos os pontos (x, y) que satisfazem:

Resposta

A descrição da região R em coordenadas cartesianas é:
R = , (x, y) mid x >= 0, y >= 0, x^2 + y^2 <= 400 ,

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