Considere a região
do plano
dada por
descrita em coordenadas polares.
Como seria a descrição dessa região em coordenadas cartesianas?
Como seria a descrição dessa região em coordenadas cartesianas?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma região R no plano xy definida em coordenadas polares por
e
. Nosso objetivo é traduzir essa descrição para coordenadas cartesianas, ou seja, em termos de x e y.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter coordenadas polares para cartesianas. As fórmulas são:
Essas expressões nos ajudam a passar de r e θ para x e y.
Passo 3
Vamos analisar os limites de r e θ:
-
: Isso significa que o raio varia de 0 até 20 unidades. -
: Isso significa que o ângulo θ vai do eixo positivo x até o eixo positivo y, ou seja, estamos falando do primeiro quadrante.
Passo 4
Como estamos no primeiro quadrante, sabemos que tanto x quanto y são maiores ou iguais a zero:
Passo 5
Além disso, o limite superior para r é 20, o que define um círculo de raio 20. Em coordenadas cartesianas, a equação desse círculo é:
Passo 6
Juntando tudo, a região R em coordenadas cartesianas é o conjunto de todos os pontos (x, y) que satisfazem:
Resposta
A descrição da região R em coordenadas cartesianas é: