Usando os limites fundamentais, calcule os limites a seguir. Considere a e b números reais.
e) lim x -infty(1+ax)^x

Passo 1

O problema pede para calcular o limite limxto -inftyl(1+tfracaxr)^x, usando limites fundamentais de exponenciais.

Passo 2

Vamos usar o limite fundamental que diz que, para c constante, temos
limnto+inftyl(1+tfraccnr)^n = e^c
Isso é a base para transformarmos potências em exponenciais.

Passo 3

Para lidar com xto -infty, fazemos a mudança de variável t=-x, de modo que tto+infty. Assim:
limxto -inftyl(1+tfracaxr)^x =limtto+inftyl(1-tfracatr)^-t
Repare que trocamos a/x por -a/t e x por -t.

Passo 4

Agora usamos o fato de que
l(1-tfracatr)^-t =l[(1-tfracat)^tr]^-1
e, pelo limite fundamental com c=-a, temos
limtto+infty(1-tfracat)^t=e^-a
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limtto+infty(1-tfracat)^-t=(e^-a)^-1=e^a

Resposta

e^a

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