Mostre que a equação
possui pelo menos 4 raízes distintas no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação 2^x ln(x^2+1) + x^3 log_6(e^{-x}) - 1/20 = 0 tem pelo menos quatro soluções distintas em [-1,2]; o conteúdo envolvido é o Teorema do Valor Intermediário (continuidade + mudança de sinal) e precisamos exibir quatro subintervalos onde a função muda de sinal.
Passo 2
Definimos a função
$$f(x) = 2{x}\ln(x{2}+1) + x{3}\log_{6}(e{-x}) - \frac{1}{20}.
$$
Observamos que x^2+1>0 e e^{-x}>0 para todo x real, logo ln(x^2+1) e log_6(e^{-x}) são bem definidas e f é contínua em ℝ.
Observamos que x^2+1>0 e e^{-x}>0 para todo x real, logo ln(x^2+1) e log_6(e^{-x}) são bem definidas e f é contínua em ℝ.
Passo 3
Calculamos f(-1) e f(-0.5):
Como f é contínua e f(-1)·f(-0.5)<0, existe ao menos uma raiz em (-1, -0.5).
Passo 4
Calculamos f(-0.5) e f(0):
portanto f(-0.5)>0 e f(0)<0 implicam em outra raiz em (-0.5, 0).
Passo 5
Calculamos f(0) e f(0.5):
Como f(0)<0 e f(0.5)>0, há raiz em (0, 0.5).
Passo 6
Para obter a quarta mudança de sinal, avaliamos em 1.5 e 2:
Logo f(1.5)>0 e f(2)<0 garantem mais uma raiz em (1.5, 2).
Resposta
Existem pelo menos quatro raízes distintas em [-1,2], localizadas nos intervalos (-1, -0.5), (-0.5, 0), (0, 0.5) e (1.5, 2) pelo Teorema do Valor Intermediário.