Mostre que a equação 2^x ln (x^2+1)+x^3 log 6(e^-x)-120=0 possui pelo menos 4 raízes distintas no intervalo [-1,2].

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação 2^x ln(x^2+1) + x^3 log_6(e^{-x}) - 1/20 = 0 tem pelo menos quatro soluções distintas em [-1,2]; o conteúdo envolvido é o Teorema do Valor Intermediário (continuidade + mudança de sinal) e precisamos exibir quatro subintervalos onde a função muda de sinal.

Passo 2

Definimos a função
$$f(x) = 2{x}\ln(x{2}+1) + x{3}\log_{6}(e{-x}) - \frac{1}{20}.
$$
Observamos que x^2+1>0 e e^{-x}>0 para todo x real, logo ln(x^2+1) e log_6(e^{-x}) são bem definidas e f é contínua em ℝ.

Passo 3

Calculamos f(-1) e f(-0.5):
f(-1) = 2^-1ln(2) + (-1)^3log6(e^1) - 120 = ln22 - 1ln6 - 120 approx -0.26 < 0,
f(-0.5) = 2^-0.5ln(1.25) + (-0.5)^3log6(e^0.5) - 120 approx 0.07 > 0
Como f é contínua e f(-1)·f(-0.5)<0, existe ao menos uma raiz em (-1, -0.5).

Passo 4

Calculamos f(-0.5) e f(0):
f(0) = 2^0ln(1) + 0 - 120 = -120 < 0,
portanto f(-0.5)>0 e f(0)<0 implicam em outra raiz em (-0.5, 0).

Passo 5

Calculamos f(0) e f(0.5):
f(0.5) = 2^0.5ln(1.25) + (0.5)^3log6(e^-0.5) - 120 approx 0.23 > 0
Como f(0)<0 e f(0.5)>0, há raiz em (0, 0.5).

Passo 6

Para obter a quarta mudança de sinal, avaliamos em 1.5 e 2:
f(1.5) approx 0.45 > 0,
f(2) = 4ln5 + 8log6(e^-2) - 120 approx -2.54 < 0
Logo f(1.5)>0 e f(2)<0 garantem mais uma raiz em (1.5, 2).

Resposta

Existem pelo menos quatro raízes distintas em [-1,2], localizadas nos intervalos (-1, -0.5), (-0.5, 0), (0, 0.5) e (1.5, 2) pelo Teorema do Valor Intermediário.

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