Encontre as assíntotas verticais das funções abaixo, caso existam.
d) f(x)=-8x^2-4

Passo 1

A gente tem a função
f(x)=-8x^2-4
O conteúdo aqui é análise de assíntotas verticais. Para isso, vamos precisar ver onde o denominador zera (porque ali a função pode explodir) e checar o limite em cada ponto.

Passo 2

Primeiro, a gente identifica onde o denominador é zero. Resolvendo
x^2-4=0
Podemos fatorar:
x^2-4=(x-2)(x+2)
Logo, os zeros são x=2 e x=-2. A função não está definida nesses pontos, então são candidatos a assíntotas verticais.

Passo 3

Agora vamos ver o que acontece quando x se aproxima de 2. O denominador é (x-2)(x+2):
  • Para xto2^+, x-2>0 e x+2>0, então o denominador vai para zero pela direita (positiva). Como o numerador é -8, temos
f(x)=-8(positivo pequeno)to -infty
  • Para xto2^-, x-2<0 e x+2>0, o denominador é negativo pequeno, então
f(x)=-8(negativo pequeno)to +infty
Em ambos os lados a função diverge, caracterizando x=2 como assíntota vertical.

Passo 4

Repetindo o mesmo raciocínio para xto -2:
  • Para xto -2^+, x+2>0 e x-2<0, o denominador é negativo pequeno, logo
f(x)=-8(negativo pequeno)to +infty
  • Para xto -2^-, x+2<0 e x-2<0, o denominador é positivo pequeno, então
f(x)=-8(positivo pequeno)to -infty
A função também diverge dos dois lados, então x=-2 é outra assíntota vertical.

Passo 5

Portanto, depois de analisar onde o denominador zera e os limites laterais em cada ponto, concluímos os locais das assíntotas verticais.

Resposta

As assíntotas verticais de f(x)=-tfrac8x^2-4 são x=2 e x=-2.

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