Considere a série:
12^1+12^0+12^3+12^2+12^5+12^4+12^7+12^6+ldots
Podemos chegar a esta conclusão usando o Critério da Razão?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série que é a soma de termos com potências de 2 no denominador, mas os expoentes estão meio bagunçados: 1, 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, e por aí vai. O exercício tá perguntando se a gente pode usar o Critério da Razão para determinar se essa série converge ou não. Vamos precisar entender como funciona esse critério e ver se ele serve nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos refrescar a memória sobre o Critério da Razão. Esse critério é uma ferramenta que ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge. A ideia é olhar para o limite da razão entre termos consecutivos da série. Matematicamente, se temos uma série sum an, calculamos:
L = limn to infty | an+1an |
  • Se L < 1, a série converge absolutamente.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o critério não nos dá informação (é inconclusivo).

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa série. Primeiro, precisamos identificar an e an+1. Olhando para a série:
12^1+12^0+12^3+12^2+12^5+12^4+12^7+12^6+ldots
Podemos ver que os termos alternam entre potências ímpares e pares: 2^1, 2^0, 2^3, 2^2, etc. Então, de forma geral, podemos expressar os termos como:
a2n-1 = 12^2n-1 e a2n = 12^2n-2
Agora, vamos calcular a razão | an+1an |. Observando que os termos não seguem uma progressão simples de n, mas sim alternam entre índices pares e ímpares, isso complica a aplicação direta do critério.

Passo 4

Vamos tentar calcular o limite para termos gerais. Considerando que para n grande, os expoentes aumentam linearmente, podemos simplificar a análise observando que os termos são aproximadamente da forma 12^n. Então, a razão entre termos consecutivos seria:
| an+1an | approx 1/2^n+11/2^n = 12

Passo 5

Calculando o limite:
L = limn to infty | an+1an | = 12
Como L = 12 < 1, pelo Critério da Razão, a série converge absolutamente.

Resposta

Sim, usando o Critério da Razão, o limite da razão entre termos consecutivos é 12, que é menor que 1. Portanto, a série converge absolutamente.

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