Considere a região sólida S limitada pelo cilindro x^{2}+y^{2}=4 e pelos planos z=\mathrm{C} e z=3.
Calcule o volume de S utilizando mudança de variáveis para coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido S que está dentro do cilindro de equação x^{2}+y^{2}=4 e fica entre os planos z=C e z=3. Vamos usar coordenadas cilíndricas, pois o cilindro fica simplesmente com r=2, e expressar o volume como
V = \iiint_{S} dV.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas usamos as transformações
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
e o elemento de volume é
dV = r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 3

Agora determinamos os limites de integração:
0 \le \theta \le 2\pi, \qquad 0 \le r \le 2, \qquad C \le z \le 3.
Logo, o volume fica
V = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2}\int_{z=C}^{3} r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Primeiro integramos em z:
\int_{z=C}^{3} r\,dz = r\,(3 - C).
Depois em r:
\int_{r=0}^{2} r\,(3 - C)\,dr = (3 - C)\int_{0}^{2} r\,dr = (3 - C)\,\Bigl[\tfrac{r^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{2} = (3 - C)\cdot 2.
Por fim em \theta:
V = \int_{0}^{2\pi} 2\,(3 - C)\,d\theta = 2\,(3 - C)\,\bigl[\,\theta\bigr]_{0}^{2\pi} = 2\,(3 - C)\cdot 2\pi.

Passo 5

Simplificando,
V = 4\pi\,(3 - C).

Resposta

V = 4\pi\,(3 - C).

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