The equation of motion of a particle is s=t^{3}-3 t, where s is in meters and t is in seconds. Find
(a) the velocity and acceleration as functions of t,
(b) the acceleration after 2 s , and
(c) the acceleration when the velocity is 0 .

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula em função do tempo
s(t)=t^{3}-3t,
com s em metros e t em segundos. Pede-se (a) a velocidade v(t) e a aceleração a(t), (b) o valor de a em t=2 s, e (c) a aceleração nos instantes em que v=0. Para isso, usaremos derivação sucessiva de s(t).

Passo 2

A velocidade é a derivada de s(t) em relação a t:
v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl(t^{3}-3t\bigr) =3t^{2}-3.

Passo 3

A aceleração é a derivada de v(t) em relação a t:
a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl(3t^{2}-3\bigr) =6t.

Passo 4

Para t=2 s, basta substituir em a(t):
a(2)=6\cdot2=12\\ \text{m/s}^{2}.

Passo 5

Para achar os instantes em que v(t)=0, resolvemos
3t^{2}-3=0 \;\Longrightarrow\; t^{2}=1 \;\Longrightarrow\; t=\pm1.
Fisicamente consideramos t\ge0, logo t=1 s. Substituindo em a(t):
a(1)=6\cdot1=6\\ \text{m/s}^{2}.

Resposta

(a) v(t)=3t^{2}-3, \,a(t)=6t.
(b) a(2)=12\\ \text{m/s}^{2}.
(c) em t=1 s, a=6\\ \text{m/s}^{2}.

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